线段 AB 的垂直平分线，是把 AB 恰好分成两半、并与 AB 成直角的那条直线。它常出现在作图题里，也是“找出到 A 和 B 距离相等的点”的答案。
这项技能是作图与轨迹单元的开头，之后组合轨迹时还会再用到。
垂直平分线到底做了什么？
垂直平分线上每一个点，到 A 和到 B 的距离都相等；线外的点则总是离某一端更近。作法之所以成立，就是因为：从两端各画一段半径相同的圆弧，只有到两端距离相等的点才会成为交点。
想象 A 和 B 各站着一位朋友，想在一个公平的地方见面。垂直平分线上任何一点，对两人都一样远。
怎样一步一步作出来？
- 用直尺画出线段 AB，把两端标清楚。
- 调好圆规，半径明显大于 AB 的一半，之后不要再改变。
- 针尖放在 A 上，在线的上方和下方各画一段圆弧。
- 针尖放在 B 上，用同样的半径再画一对圆弧，与第一对相交。
- 标出两个交点，用直尺连起来。这条线就是垂直平分线，它与 AB 相交于 AB 的中点。
例题
画一条长 8 cm 的线段 AB，作出它的垂直平分线，然后检查。
**第 1 步，选半径：**AB 的一半是 4 cm，所以用 5 cm。
**第 2 步，画圆弧：**半径 5 cm，分别以 A 和 B 为圆心画弧。圆弧在线的上下相交。
**第 3 步，连接交点：**通过两个交点画线，与 AB 相交于 M。
**第 4 步，用量度检查：**AM 和 MB 应各为 4 cm，M 处的角应为 90°。
**第 5 步，用计算检查：**交点到 M 的距离是 3 cm。在形成的直角三角形中，√(4² + 3²) = √25 = 5，正是你用的半径，数字吻合。
圆弧要留在纸上作为证据，只有最后那条线画得很明确。
要留意的错误
常见的失误是半径取得太小，或在两端之间让圆规稍微合拢了一点。
**错误做法：**线段 8 cm，却用半径 3 cm。
从 A 和 B 出发的圆弧沿线段只伸出 3 cm，所以永远不会相遇。
纠正的办法是在画长弧之前先检验半径：它必须明显大于线段的一半。然后用手指捏住圆规的铰链而不是两脚，开口就不会漂移。
自我检测
需要时可以用直尺和圆规，然后打开答案。
1. AB 长 10 cm。作图时可以使用的最小整数半径（单位 cm）是多少？
显示答案
半径必须大于 10 的一半，也就是 5。大于 5 的最小整数是 6 cm。
2. P 在 AB 的垂直平分线上，PA = 13 cm。PB 是多长？
显示答案
垂直平分线上每一点到 A 和 B 的距离相等，所以 PB = 13 cm。
3. AB = 12 cm。垂直平分线上的点 P 距中点 M 8 cm，求 PA。
显示答案
AM = 6 cm。在直角三角形 AMP 中，PA² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，所以 PA = 10 cm。
接下来学什么
同样的“圆弧加直线”思路可以得到角平分线，见作角平分线。免计算器计算训练器适合用来检查上面这类勾股定理的算术。
有些学生能把作图画对，却在推理分上失分。这正是我们的老师会在线上一对一数学补习中留意的缺口。