这一组有十二道原创题，由易到难，涵盖作图与轨迹的全部五课。第 1 到 4 题是热身，第 5 到 8 题训练轨迹思维，第 9 到 12 题综合条件与检查。
需要作图时请在纸上用直尺和圆规作答，然后才打开答案。每一步都写出理由。把做错的题目标出来，再使用末尾的分流清单。
题目
1. AB = 12 cm。你要作它的垂直平分线。中点离 A 多远？可以使用的最小整数圆规半径（单位 cm）是多少？
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中点离 A 12 ÷ 2 = 6 cm。半径必须大于 6 cm，所以最小整数是 7 cm。
2. 角 ABC = 108° 被平分。求两个相等角中每一个的大小。
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108° ÷ 2 = 每个 54°。
3. 点 X 在角 PQR 的平分线上，到边 QP 的垂直距离为 7.5 cm。X 到边 QR 的距离是多少？
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角平分线上每一点到两条边的距离相等，所以 X 到 QR 的距离是 7.5 cm。
4. 描述到固定点 O 距离为 6 cm 的点的轨迹。求它的长度和所围的面积，各保留 1 位小数。
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它是半径 6 cm 的圆。周长 = 2 × π × 6 = 12π ≈ 37.7 cm。面积 = π × 6² = 36π ≈ 113.1 cm²。
5. P 在一条长 16 cm 的线段的垂直平分线上，P 离中点 8 cm。求 P 到线段一端的距离，保留 1 位小数。
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线段的一半是 8 cm。距离² = 8² + 8² = 128，所以距离是 √128 ≈ 11.3 cm。检查：11.3² ≈ 127.7。
6. 描述到一条长 10 cm 的线段恰好 3 cm 的点的轨迹，然后求它的总长度，以及到该线段 3 cm 以内的区域面积。各保留 1 位小数。
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轨迹是两条长 10 cm 的平行线段，两端各用半径 3 cm 的半圆连接。
长度 = 10 + 10 + 2 × π × 3 = 20 + 6π ≈ 20 + 18.85 = 38.8 cm。
面积 = 长方形 10 × 6 = 60，加上半径 3 的圆：9π ≈ 28.27。总共约 88.3 cm²。
检查：6π = 18.8496，20 + 18.8496 = 38.8496，四舍五入得 38.8。
7. 长方形 ABCD 中，AB = 16 cm，AD = 9 cm。点 P 到 A 和 B 的距离相等，并且恰好离 A 10 cm。求 P 离 AB 的距离，并说明 P 是否在长方形内。
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P 在 AB 的垂直平分线上，它与 AB 相交于 M，AM = 8 cm。MP² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36，所以 MP = 6 cm。因为 6 < 9，P 在长方形内，离 AB 6 cm。
检查：8² + 6² = 64 + 36 = 100。
8. 直线 BA 和 BC 相交成 60° 角。点 P 到两条线的距离相等，并且离 B 4 cm。P 到直线 BA 的距离是多少？
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P 在角平分线上，所以 BP 与 BA 的夹角是 30°。P 到 BA 的垂直距离是 BP × sin 30° = 4 × 0.5 = 2 cm。
检查：30° 直角三角形中最短的边是斜边的一半，2 正好是 4 的一半。
9. 信号塔 A 和 B 相距 10 km。信号覆盖离每座塔 6 km 以内的点。求同时收到两个信号的点沿 AB 方向的长度，以及重叠区域垂直于 AB 方向的最大宽度，保留 1 位小数。
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塔 A 沿 AB 覆盖到 6 km，塔 B 往回覆盖到离 A 10 − 6 = 4 km 处。重叠部分从 4 km 到 6 km，沿 AB 长 2 km。
在中点处（离 A 5 km），高度 h 满足 h² = 6² − 5² = 36 − 25 = 11，所以 h = √11 ≈ 3.317。重叠区域向上和向下延伸，所以宽度是 2 × 3.317 ≈ 6.6 km。
10. AB = 5 cm 时，是否存在一个点，恰好离 A 2 cm，同时恰好离 B 2 cm？请解释。
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**不存在。**以 A 和 B 为圆心、半径 2 cm 的圆，沿 AB 最多伸出 2 + 2 = 4 cm，但两个圆心相距 5 cm，所以两个圆永远不相遇。
11. 一位学生作 80° 角的平分线，量得 38° 和 42°。哪里出了问题？两个角应该各是多少？
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平分线应该使每一侧都是 80° ÷ 2 = 40°。2° 的差距意味着两段本应相等的弧可能用了不同的半径，或圆规针尖滑动了。请用一个不变的半径重新画两段弧。
12. 长方形花园 ABCD，AB = 12 m，AD = 8 m。P 处的洒水器必须到 A 和 B 的距离相等，并且恰好离 A 10 m。求 P，并说明它是否在花园内。
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P 在 AB 的垂直平分线上，它与 AB 相交于 M，AM = 6 m。MP² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64，所以 MP = 8 m。花园宽 8 m，所以 P 在边 CD 上，位于它的中点，离 AB 8 m。
检查：PA = √(6² + 8²) = √100 = 10，由对称性 PB = 10。
如果你做错了
- **第 1、5、7、12 题：**垂直平分线或它的勾股定理步骤出了问题。回到作垂直平分线。
- **第 2、3、8、11 题：**角平分线用得不对。回到作角平分线。
- **第 4、6 题：**轨迹的形状或它的长度、面积出错。回到用距离条件描述轨迹。
- **第 9、10 题：**两个条件没有正确结合。回到组合两个轨迹。
- **第 7、11、12 题：**答案没有对照每个条件检验。回到检查作图。
把每个失误记在错题记录与重测队列里，几天后再做一道新题。免计算器计算训练器可以检查平方根和 π 的步骤。
如果同一个错误一再出现，线上一对一数学补习能让经验丰富的老师直接看到你的图和解题过程。