轨迹是遵守同一条规则的所有点的集合。在 IGCSE 数学中，规则几乎总是和距离有关：到一个点、到一条线，或同时到两个点。
这一课属于作图与轨迹单元，会用到垂直平分线和角平分线的作法。
哪种规则对应哪种图形？
| 规则 | 轨迹 |
|---|---|
| 到一个点的距离固定 | 以该点为圆心的圆 |
| 到一条很长的直线距离固定 | 两条平行线，两侧各一条 |
| 到一条线段的距离固定 | 两条平行线段，两端用半圆连接 |
| 到两点距离相等 | 这两点之间线段的垂直平分线 |
| 到两条相交直线距离相等 | 两线夹角的角平分线 |
先判断规则说的是“恰好”还是“在……以内”。恰好得到边界，在……以内得到区域。
例题
一只山羊被绳子拴着，只能到达与围栏横杆 PQ 恰好相距 2 m 的点，PQ = 6 m。描述轨迹并求它的总长度。
**第 1 步，横杆两侧：**与 PQ 相距 2 m 的点，在两侧各形成一条与 PQ 平行的线段，每条 6 m。
**第 2 步，横杆两端：**在 P 和 Q 附近，点到端点的距离是 2 m，所以落在半径 2 m 的半圆上。
**第 3 步，求长度：**两段直线共 6 + 6 = 12 m。两个半圆合起来是一个半径 2 m 的整圆，周长 2 × π × 2 = 4π m。
**第 4 步，相加：**12 + 4π = 12 + 12.57 = 24.57，所以轨迹长约 24.6 m。
**检查：**4π 约为 12.566，12 + 12.566 = 24.566，四舍五入得 24.6。两种算法一致。
如果题目说的是“在 2 m 以内”，区域还包括这条边界里面的所有地方。
要留意的错误
常见的失误是在线段四周画一个有直角的长方形。
**错误答案：**轨迹是绕着横杆的 10 m × 4 m 长方形，周长 28 m。
长方形的角离横杆超过 2 m，所以这些点违反了规则。
纠正的办法是试一个点：每个角到最近的端点的距离是 2√2 ≈ 2.8 m，不在轨迹上。把每一对角换成半径 2 m 的半圆。周长就从 28 m 降到约 24.6 m。
自我检测
先试做每一题，再打开答案。
1. 描述到固定点 O 距离为 4 cm 的点的轨迹，并求其长度，保留 1 位小数。
显示答案
以 O 为圆心、半径 4 cm 的圆。周长 = 2 × π × 4 = 8π ≈ 25.1 cm。
2. 描述到一条无限长直线恰好 3 cm 的点的轨迹。
显示答案
两条与已知直线平行的直线，两侧各距 3 cm。
3. 求到固定点 O 距离在 5 cm 以内的点所形成的区域面积，保留 1 位小数。
显示答案
区域是半径 5 cm 的圆。面积 = π × 5² = 25π ≈ 78.5 cm²。
接下来学什么
当两条规则同时适用时，你要画出两个轨迹并找出重叠部分，见组合两个轨迹找出可行位置。免计算器计算训练器可以帮你处理 6 + 6 + 4π 这类精确步骤。
有些学生记得住规则表，却在题目句子很长时失分。我们的老师会在线上一对一数学补习中练习这种转换。