理解速度-时间图下的面积

在速度-时间图上，线下面的面积是所行驶的距离，斜率是加速度。两者都直接来自单位：速度 × 时间是距离，速度变化 ÷ 时间是加速度。

这项技能出现在行程题中：车辆加速、匀速行驶、再减速。它建立在读距离-时间图之上。

怎样从图中求距离？

1. 检查单位。 速度和时间必须配套，例如 m/s 配 s。如果不配，先用速度单位那一课的方法换算。
2. 把面积分成简单图形。 三角形、长方形和梯形可以涵盖大多数图。
3. 算出每一块面积。 三角形：½ × 底 × 高。长方形：底 × 高。梯形：½ × （平行边之和） × 宽。
4. 把各部分加起来。 总和就是距离。
5. 求加速度，用斜率。 速度变化 ÷ 时间变化。

例题详解

一辆车的速度在时间 0 时是 0。它匀速增加，在 6 s 时达到 12 m/s，保持 12 m/s 直到 16 s，然后匀速减小，在 20 s 时降到 0。

第一部分，0 到 6 s（三角形）： ½ × 6 × 12 = 36 m。

第二部分，6 s 到 16 s（长方形）： 10 s 以 12 m/s 行驶 = 10 × 12 = 120 m。

第三部分，16 s 到 20 s（三角形）： ½ × 4 × 12 = 24 m。

总距离： 36 + 120 + 24 = 180 m。

平均速度： 180 ÷ 20 = 9 m/s。

第一部分的加速度： 12 ÷ 6 = 2 m/s²。最后部分的减速度： 12 ÷ 4 = 3 m/s²。

换一种方法验算：整个图形是一个梯形，平行边为 20 s 和 10 s，高为 12。面积 = ½ × (20 + 10) × 12 = 180 m。两种方法一致。

要留意的错误

常见的失误是把最高速度乘以总时间。

错误答案： 12 × 20 = 240 m

学生把整个行程当成车一直以 12 m/s 行驶。事实上有一部分时间它走得更慢。

改正的方法是求实际图形的面积，它比外面的长方形小：180 m。看一眼图形就知道，答案必须小于 240。

自我检测

先试做，再打开答案核对。

1. 速度在 4 s 内从 0 匀速增加到 8 m/s，然后以 8 m/s 保持 5 s。求总距离。

2. 一列火车以 60 km/h 匀速行驶 45 分钟。求距离（km）。

3. 一辆摩托车的速度在 8 s 内从 10 m/s 匀速增加到 30 m/s。求距离和加速度。

下一步

接下来，区分平均速率与瞬时读数会把两种图结合起来使用。你可以用图表模型探索器和二次函数结构探索器多做读图练习，再回到单元页面。

有些学生面积算对了，却忘了说明这个数代表什么。我们的老师在数学线上一对一补习中会留意这一点。