位置向量说明一个点在哪里，从原点量起。位移向量（displacement vector）说明如何从一个点走到另一个点。它们由一条规则联系起来：AB = OB − OA。
两者有什么区别？
点 A(3, −2) 的位置向量是 OA = (3, −2)。它总是从原点出发，所以数字与坐标一致。
像 AB 这样的位移向量可以从任何地方开始。它只记录从 A 到 B 的变化。同一个位移 (4, 1) 可以从许多不同的起点画出，每一种画法都是同一个向量。
怎样把位置变成位移？
- 写出位置向量 OA 和 OB，数字来自坐标。
- 相减：AB = OB − OA。 终点减起点，上面和下面的数分别计算。
- 检查方向：把 AB 加到 OA 上，应该得到 OB。
例题详解
A 是点 (3, −2)，B 是点 (−1, 5)。求 A 和 B 的位置向量，再求 AB。
第一步，位置向量： OA = (3, −2)，OB = (−1, 5)。
第二步，相减： AB = OB − OA = (−1 − 3, 5 − (−2)) = (−4, 7)。
答案： AB = (−4, 7)。
检查： OA + AB = (3 + (−4), −2 + 7) = (−1, 5) = OB。正确。
反向量是 BA = (4, −7)，方向是从 B 回到 A。
要留意的错误
常见的失误是算成起点减终点，得到方向相反的位移。
错误答案： AB = OA − OB = (3 − (−1), −2 − 5) = (4, −7)。
这其实是 BA，不是 AB。
改正方法是在书写时默念“终点减起点”。简单的检查是把你的向量加到起点上：(3, −2) + (4, −7) = (7, −9)，这不是 B(−1, 5)，所以检查失败。
第二种失误是把位移当成点，例如写了“AB = (−4, 7)”之后，把点 (−4, 7) 当成 B 画出来。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. OP = (2, 6)，OQ = (5, 1)。求 PQ。
查看答案
PQ = OQ − OP = (5 − 2, 1 − 6) = (3, −5)。
检查：(2, 6) + (3, −5) = (5, 1) = OQ。
2. AB = (4, −3)，OA = (1, 2)。求 OB。
查看答案
OB = OA + AB = (1 + 4, 2 + (−3)) = (5, −1)。
3. OA = (6, 2)，OB = (−2, 8)。M 是 AB 的中点。求 M 的位置向量。
查看答案
把两个位置向量相加再除以 2：(6 + (−2), 2 + 8) ÷ 2 = (4, 10) ÷ 2 = (2, 5)。
检查：AB = (−8, 6)，一半是 (−4, 3)，OA + (−4, 3) = (2, 5)。
下一步
之后可以做向量与变换练习题组，它混合了全部五项技能。把你的失误记在错题记录与重测队列里，并用无计算器运算训练练习带正负号的运算。
有些学生能看懂上面的每一行，但在考试情境下仍会把向量写反。这正是我们的老师在数学线上一对一补习中会留意的规律。