两边平方是去掉根号的有效办法，但它可能带进并不属于原方程的答案。解决办法很简单：把每个候选答案代回原方程，舍去不成立的。
这项技能属于代数方程与不等式，与解含绝对值的方程中的“检验答案”习惯一脉相承。
假答案从哪里来？
根号 √ 只代表非负的平方根。所以 √(x + 6) 永远不会是负数，方程 √(x + 6) = x 只有在 x 本身为零或正数时才可能成立。
平方后得到 x + 6 = x²，而这个新方程也会被任何使 √(x + 6) 等于 −x 的 x 满足。这些值满足平方后的方程，却不满足原方程。
方法步骤
- 把根式单独放在一边。
- 两边平方，有括号时要仔细展开。
- 整理成二次方程并求解。
- 把每个根代回原方程。
- 舍去使两边不相等的根，写出最后的答案。
例题详解
解 √(x + 6) = x。
第一步，根式已经单独在一边。
第二步，两边平方： x + 6 = x²。
第三步，整理并求解： x² − x − 6 = 0，所以 (x − 3)(x + 2) = 0。候选答案是 x = 3 和 x = −2。
第四步，检验 x = 3： √(3 + 6) = √9 = 3，右边是 3，成立。
第四步，检验 x = −2： √(−2 + 6) = √4 = 2，右边是 −2。因为 2 ≠ −2，不成立。
答案： 只有 x = 3。根 x = −2 是增根。
快速推理核对： 右边的 x 等于一个平方根，所以必须非负。光凭这一点，不用代入就能排除 −2。
要留意的错误
常见的失误是停在二次方程这一步，把两个解都报上去。
错误答案： x = 3 或 x = −2
学生二次方程解对了，却没有回到原方程检验。
改正方法是把代入检验当作方法的最后一步，而不是可有可无的附加项。第二种失误正好相反：没有检验就直接舍去某个根。如果要舍去，请写出哪里不成立，例如 √4 = 2，但右边是 −2。
自我检测
先自己做，再打开答案核对。
1. 解 √(3x + 4) = x。
查看答案
平方：3x + 4 = x²，所以 x² − 3x − 4 = 0，得 (x − 4)(x + 1) = 0。候选答案：4 和 −1。
检验 4：√16 = 4，成立。检验 −1：√1 = 1，但右边是 −1，不成立。
x = 4
2. 解 √(5x − 1) = x + 1。
查看答案
平方：5x − 1 = x² + 2x + 1，所以 x² − 3x + 2 = 0，得 (x − 1)(x − 2) = 0。
检验 1：√4 = 2，1 + 1 = 2，成立。检验 2：√9 = 3，2 + 1 = 3，成立。
x = 1 或 x = 2（两个都成立）
3. 解 √(x + 7) − 1 = x。
查看答案
先把根式单独放一边：√(x + 7) = x + 1。平方：x + 7 = x² + 2x + 1，所以 x² + x − 6 = 0，得 (x + 3)(x − 2) = 0。
检验 2：√9 − 1 = 2，成立。检验 −3：√4 − 1 = 1，但右边是 −3，不成立。
x = 2
下一步
同样是限制答案范围的想法，会在在处理分式之前先写出限制条件中延续。准备好后试试综合练习题组，并用无计算器运算训练做干净的精确代入。
代数运算流畅的学生，常常只在检验这一步丢分。附加数学线上一对一补习中的老师可以帮你建立适合自己解题风格的检验习惯。