解二次不等式的方法是：先求对应方程的根，再检验根之间的各个区域，看式子在哪里符合你要的正负号。当题目要求 x 的范围时，例如问“x 取何值时某个量为正”，就会用到这项技能。
它是代数方程与不等式的核心技能之一，也与二次结构与判别式直接相关。
为什么根会把数轴分成几段？
二次式要从正变成负，只能经过零。所以根是正负号唯一可能改变的地方。在相邻两个根之间，符号保持不变；越过一个根，符号就反转。
这意味着你不必检验每一个值。每个区域取一个检验值，就能知道整个区域的正负号。
方法步骤
- 把所有项移到一边，使不等式变成二次式与 0 比较。
- 因式分解（或用公式）求根。
- 在数轴上标出根，得到三个区域。
- 每个区域取一个值代入因式分解后的式子，记下 + 或 −。
- 选出符合不等号的区域。< 或 > 用不含端点的区间，≤ 或 ≥ 则包含根。
- 写出 x 的解，两段分开的解用“或”连接。
例题详解
解 2x² − 5x ≥ 3。
第一步，与零比较： 2x² − 5x − 3 ≥ 0。
第二步，因式分解： 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3)，根为 x = −1/2 和 x = 3。
第三步，区域： x < −1/2，然后 −1/2 < x < 3，然后 x > 3。
第四步，检验值：
| 区域 | 检验 x | (2x + 1)(x − 3) | 符号 |
|---|---|---|---|
| x < −1/2 | −1 | (−1)(−4) = 4 | + |
| −1/2 < x < 3 | 0 | (1)(−3) = −3 | − |
| x > 3 | 4 | (9)(1) = 9 | + |
第五步，选择： 我们要式子 ≥ 0，所以取正的区域并包含根。
答案： x ≤ −1/2 或 x ≥ 3。
核对： x = 0 在两根之间，2(0) − 0 = 0，不大于等于 3，所以 0 确实应排除。x = 4 时 32 − 20 = 12 ≥ 3，正确。
要留意的错误
常见的失误是把两段答案写成一条连写的不等式。
错误答案： 3 ≤ x ≤ −1/2
学生按根出现的顺序抄下来，再用 ≤ 连起来，这样写出来根本不代表任何数。
a ≤ x ≤ b 只有在 a 小于 b 时才成立，而且表示“在两者之间”。当答案是外侧区域时，要分成两个陈述，用或连接：x ≤ −1/2 或 x ≥ 3。检验值表能看清区别，因为中间区域是负的，必须排除。
另一个失误是两边除以负数时忘了反转不等号。像第一步那样先把各项集中到一边，就能完全避免这个问题。
自我检测
先自己做，再打开答案核对。
1. 解 x² − 4x − 5 < 0。
查看答案
x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1)，根为 −1 和 5。式子在两根之间为负（取 x = 0 得 −5）。
−1 < x < 5
2. 解 x² + 2x ≥ 15。
查看答案
改写成 x² + 2x − 15 ≥ 0，因式分解为 (x + 5)(x − 3) ≥ 0。根为 −5 和 3。式子在两根外侧为正（取 x = 0 得 −15，所以中间为负）。
x ≤ −5 或 x ≥ 3
3. 解 (x − 3)² > 0。
查看答案
平方只在 x = 3 时为零，其他地方都为正。严格不等号排除 x = 3 本身。
除 x = 3 以外的所有实数（写成 x < 3 或 x > 3）
下一步
当符号区间变成例行步骤后，可以学习解含绝对值的方程，它同样把数轴分成几种情况。二次结构探索器会画出曲线，让你看到哪些区域在 x 轴上方；无计算器运算训练能帮助你处理检验步骤中的分数运算。准备好后，试试综合练习题组。
如果你明白方法，却总因为符号或不等号的小失误丢掉最后的答案，这种模式值得仔细观察，可以在附加数学线上一对一补习中处理。