在消去分母之前，先写下所有使分母为零的 x 值。解完之后，舍去与这些值相同的答案。
这是代数方程与不等式中的核心习惯。关于“允许输入”的同一种思考，也出现在求有理式的有效输入以及函数定义域中。
为什么消去分母会出问题？
两边同乘 (x − 2)，只有在 x − 2 不为零时才是合理的步骤。如果 x = 2，你就是在乘以零，任何方程都变成 0 = 0。所以新方程可能出现一个根 x = 2，而原方程从来不允许它。
如果你在乘之前写下“x ≠ 2”，之后就会记得去检验。
方法步骤
- 能因式分解的分母先因式分解。
- 列出限制条件： 让每个分母等于零，把那些 x 值记为被排除。
- 两边同乘公分母。
- 解得到的方程。
- 把每个解与限制条件对照，舍去相同的。
- 代入剩下的解确认。
例题详解
解 x²/(x − 2) = 4/(x − 2)。
第一步，限制条件： x = 2 时 x − 2 = 0，所以 x ≠ 2。
第二步，两边同乘 (x − 2)： x² = 4。
第三步，求解： x = 2 或 x = −2。
第四步，与限制条件对照： x = 2 被排除，x = −2 允许。
第五步，检验 x = −2： 左边 4/(−4) = −1，右边 4/(−4) = −1，两边相等。
答案： 只有 x = −2。
根 x = 2 不是代数运算的错误，而是来自乘以 x − 2，而这个式子在该值时为零。
要留意的错误
常见的失误是因为二次方程那一步看起来没错，就把两个解都写上。
错误答案： x = 2 或 x = −2
学生一开始没有写限制条件，所以到最后没有任何提示让他去检验。
另一种版本是把 (x − 2) 当作普通数字，从两边约掉。这样会切断解集与限制条件的联系，甚至可能藏起一个根。请把限制条件写在解题的开头，并在写最后答案之前再读一遍。
自我检测
先自己做，再打开答案核对。
1. 解 (x + 1)/(x² − 9) = 2/(x − 3)。
查看答案
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)，所以限制条件是 x ≠ 3 且 x ≠ −3。两边同乘 (x − 3)(x + 3)：x + 1 = 2(x + 3) = 2x + 6，所以 x = −5。
x = −5 允许。检验：(−4)/(25 − 9) = −4/16 = −1/4，2/(−8) = −1/4。
x = −5
2. 解 2x/(x − 3) = 6/(x − 3) + 1。
查看答案
限制条件：x ≠ 3。两边同乘 (x − 3)：2x = 6 + (x − 3)，所以 x = 3。这是被限制的值，必须舍去。
无解
3. 解 1/x + 1/(x + 1) = 5/6。
查看答案
限制条件：x ≠ 0 且 x ≠ −1。两边同乘 6x(x + 1)：6(x + 1) + 6x = 5x(x + 1)，所以 12x + 6 = 5x² + 5x，得 5x² − 7x − 6 = 0，因式分解为 (5x + 3)(x − 2) = 0。
根：x = 2 和 x = −3/5，都不在限制范围内。检验 x = 2：1/2 + 1/3 = 5/6。检验 x = −3/5：−5/3 + 5/2 = 5/6。
x = 2 或 x = −3/5
下一步
代数步骤之后出现不需要的根，这个想法与平方后舍去增根相呼应。准备好后试试综合练习题组，并用无计算器运算训练做分数的检验。
写下限制条件是一个小习惯，却能守住不少分数。如果你想一边得到反馈，一边把它融入自己的解题方式，我们的老师可以在附加数学线上一对一补习中帮你。