为什么证明比一般代数更难？

一般代数里你知道要做什么运算。证明则要你自己决定第一行写什么、最后一行应该是什么样子。这是一项独立的技能，对每道证明题都练习同样的三个问题，它就会进步。

可以用代入数字来证明吗？

不可以。数字可以说明命题有道理，或者用一个反例说明它不成立，但不能证明它对所有值成立。证明需要通式，例如用 n 表示任意整数，再一路用代数推下去。

偶数写成 2k，奇数写成 2k + 1，其中 k 是整数。连续整数写成 n 和 n + 1。一开始选对这些形式，往往就是整道题的关键，因为最后一步只需要说明结果具有所要的形式。

它应该与目标的用词一致，并写出理由。例如写：2(n² + n) + 1 比 2 的倍数多 1，所以是奇数。如果最后一行只是重复代数，就把最后的联系留给读者自己去想。

开始证明之前，先回答三个问题，再写任何代数：最后一行必须说什么？什么通式能涵盖所有情况？哪一步把两者连起来？ 看懂一份写好的证明只是阅读，自己开始证明则是规划，而规划是有方法的。

本页用一道原创例题说明这个方法，让第一行不再是一片空白。

标准答案只在写完之后才展示规划那一步的结果。你看到 n 和 n + 1 出现，以为作者本来就知道要这样用。其实作者是先看目标，再选出它们的。

所以你缺的不是代数，而是从最后一句话倒推，决定第一步写什么的能力。

证明：两个连续整数的平方和永远是奇数。

目标。 最后的式子必须是 2 × (整数) + 1 的形式。

通式。 设这两个整数为 n 和 n + 1，n 为任意整数。

桥梁。 平方和是 n² + (n + 1)² = n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1。

从前两项提出 2：2n² + 2n + 1 = 2(n² + n) + 1。

因为 n 是整数，n² + n 也是整数，所以这是 2 × (整数) + 1，即奇数。命题对每个整数 n 都成立。

用数字检查（不是证明）： n = 3 时 9 + 16 = 25，而 2(9 + 3) + 1 = 25。n = −2 时 4 + 1 = 5，而 2(4 − 2) + 1 = 5。两者一致。

学生试了 3 和 4，得到 25，是奇数；又试了 5 和 6，得到 61，于是写”所以永远是奇数”。看起来很有说服力。

错在有限的几个例子永远无法涵盖所有整数。一个命题可能对一百个数成立，却在下一个数失败。

纠正的方法是用 n 取代具体数字，让代数一次涵盖所有情况，如上面所做。数字只用来做最后检查，或者在证明之前帮你找规律。

有时式子本身就是线索。如果要证明某个量是 4 的倍数，就找能提出 4 的地方。如果要证明它对所有实数 x 都为正，就找配方，因为平方加一个正的常数不可能为负。

你可以在二次函数结构探索器中观察这种形式。

显示答案

n² + n = n(n + 1)。两个连续整数中必有一个是偶数，所以乘积是偶数。（n 为偶数时，n 是偶数因子；n 为奇数时，n + 1 是偶数因子。）
(2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n² + 4n = 4n(n + 1)。由第 1 题，n(n + 1) 是偶数，设它等于 2m（m 为整数）。于是该式是 4 × 2m = 8m，是 8 的倍数。
取 n − 1、n、n + 1。它们的和是 (n − 1) + n + (n + 1) = 3n，因为 n 是整数，所以是 3 的倍数。

每做一道证明，先在前两行写出目标和通式，再开始代数，让推导把你带到目标的形式。涉及分数或根式时，可以用无计算器解题训练器保持运算整洁。

如果你仍然卡在第一行，线上一对一 Additional Mathematics 补习会有老师在你解题时提出这些规划问题，并在你学会自己提问之后慢慢退后。