二维向量证明

向量证明是用两个基向量（base vectors）来表示点与点之间的每一段路径，从而证明一个几何事实，例如两条线平行，或三个点在同一直线上。它是有图形作支撑的代数。

这个课题属于附加数学的向量部分。请到 Cambridge 0606 课程大纲页面查看你所考年份的措辞和考试提供的公式。

开始之前需要掌握什么？

你应该已经熟悉以下内容：

• 向量的加减，以及向量乘以一个数
• 列向量，例如 (3, −2)，以及它的模（magnitude）
• 分数和简单的联立方程，因为交点问题两者都会用到

如果分数拖慢了你的速度，先把它补上。用免计算器运算训练器练习精确运算会有帮助。

一道示范例题

在三角形 OAB 中，→OA = a，→OB = b。M 是 AB 的中点。求 →OM。

从 O 到 M 可以先走 O 到 A，再走 A 到 M。向量 →AB 是 b − a，所以 →AM 是它的一半。

→OM = →OA + →AM = a + ½(b − a) = ½a + ½b

这就是整个方法的缩影：从已知的起点选一条路线，用 a 和 b 写出每一段，然后化简。下面每一课都建立在这个方法上。

应该按什么顺序学习各课？

1. 用基向量表示位移：后面所有证明都依赖的写路线习惯。
2. 求线段上的分点：用比例在线上定位一个点，并写出位置向量。
3. 用标量关系证明三点共线：把“在同一直线上”变成一个倍数加一个公共点。
4. 求向量定义的两条直线的交点：用两个不同的参数比较 a 和 b 的系数。
5. 解释向量方程中的方向：分清位置向量与方向向量，并判断直线是否平行。

第 1 课和第 2 课是其余各课的基础。如果直线的向量方程让你感到陌生，可以先学第 5 课。

常见的陷阱有哪些？

• 方向写反。 →AB 是 b − a，不是 a − b。始终写成“终点减起点”。
• 比例放错了向量。 在比例题中，离 A 较近的点含有更多的 a。
• 共线却没有公共点。 倍数关系只能说明平行，还需要一个公共点。
• 两条线用同一个参数。 两条线需要两个字母，例如 λ 和 μ。
• 没有结论句。 证明的最后要说明已经证明了什么。

如何使用练习题？

在纸上完成二维向量证明练习，每题先画草图。盖住答案，写完自己的证明，再对照。用错题记录与重测队列记下每个失误，几天后再重测同一项技能。

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