什么是精确形式？

精确形式把 √5、π 或 7/2 这样的值原样保留，而不是换成四舍五入的小数。舍入后的值只是近似，所以当题目要求用根式或分数表示答案时，只有精确形式才会被接受。

怎么知道可不可以用计算器？

不要猜。规定取决于你考试年份的课程大纲以及每份试卷，所以请阅读 Cambridge 网站上的 Additional Mathematics 0606 文件，并向你的考试中心确认。无论如何，练习精确解题本身就是一项有用的技能。

意思是把分式改写，使分母不含根式。对于 3 − √5 这样的分母，把分子分母同时乘以它的共轭 3 + √5。分母变成 9 − 5 = 4，是整数，用的是平方差公式。

用简单的范围估算。因为 2² = 4，3² = 9，所以 √5 在 2 和 3 之间，约 2.2。把这个粗略的值分别代入原式和最后的形式。如果两者接近，解答大概是对的；方法错了，通常会出现很大的差距。

精确解题是指把根式、分数和 π 当作符号保留到最后一行，只有题目要求时才四舍五入。 原因在于精确度：你早早写下的小数，后面的位数已经不准确，之后的每一步都会带着这个误差。

解决办法是改变你对待平方根的方式：把它当作字母，而不是要马上换成数字的东西。

计算器会把 √5 显示成 2.236…，这让人觉得有进展。在要求精确答案的试卷上，这恰恰相反。小数会掩盖后面步骤需要的结构，例如平方差。

第一步是确认能不能用计算器。请阅读 Cambridge 页面上现行的 0606 大纲，并向考试中心确认规定。无论能不能用，精确解题都值得练习。

把 (3 + √5)/(3 − √5) 表示成 a + b√5 的形式，其中 a、b 是有理数。

第 1 步。 3 − √5 的共轭是 3 + √5。分子分母同时乘以它。

第 2 步：分子。 (3 + √5)(3 + √5) = 9 + 3√5 + 3√5 + 5 = 14 + 6√5。

第 3 步：分母。 (3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4，用的是平方差。

第 4 步。 分式是 (14 + 6√5)/4。每项除以 2：(7 + 3√5)/2。

第 5 步。 写成要求的形式，就是 7/2 + (3/2)√5，所以 a = 7/2，b = 3/2。

检查。 取 √5 ≈ 2.236。原式为 5.236/0.764 ≈ 6.85。答案为 (7 + 6.708)/2 ≈ 6.85。两者吻合。

学生把分子分母同时乘以 3 − √5，也就是与分母相同的符号。分母变成 (3 − √5)² = 9 − 6√5 + 5 = 14 − 6√5，里面仍然有根式。这个方法什么都没有简化。

另一个常见的失误是过早舍入：在解答中途把 √5 换成 2.2，最后给出 6.8 这样的答案。看上去很接近，但并不精确，当题目要求精确形式时会被视为近似值。

纠正方法是使用共轭，它把两项之间的符号反过来，使中间项抵消，只剩下平方。

显示答案

一开始就决定答案需不需要精确，然后每一步都保持这种形式。用无计算器解题训练器检查每一步分数运算，用二次函数结构探索器观察以根式表示的根，例如 x² − 4x + 1 = 0 的解。

如果精确解题一直让你丢分，线上一对一 Additional Mathematics 补习可以让老师看着你的笔，找到你伸手去用小数的那一步，并把那一步重新建立起来。