要解两个方程都是非线性的方程组，选出最容易用一个变量表示另一个变量的方程，代入另一个方程，再解出得到的二次方程，它往往以 x² 为变量。这类题目要求写出同时满足两个方程的每一对 (x, y)。
本课以把直线代入圆为基础，也为由两个限制条件列出方程组中的应用题做准备。
从哪个方程开始？
找出能用最少功夫把一个变量单独写出来的方程。三种常见形式涵盖大部分题目。
- xy = k。 写成 y = k/x。代入后要乘以 x² 去分母，所以会遇到 x⁴ 项。
- y = x²（或类似形式）。 在另一个方程里用 y 代替 x²。接着解 y，通常更容易。
- 两个方程分别含 x² 与 y²。 直接相加或相减，消去其中一个平方项。
不论走哪条路，目标都是得到只含一个未知数的一个方程。
怎样处理关于 x² 的二次方程？
当结果是 ax⁴ + bx² + c = 0 时，把 x² 当作一个未知数。令 u = x²，解关于 u 的二次方程。然后回头：每个正的 u 给出 x = ±√u，负的 u 则没有实数 x。
大部分解答就是在这一步丢根的。一个正的 u 产生两个 x 值，而每个 x 都有自己对应的 y。
例题详解
解 xy = 6 与 x² + y² = 13。
消去 y： y = 6/x，所以 x² + 36/x² = 13。
去分母： 两边乘以 x²：x⁴ + 36 = 13x²，得 x⁴ − 13x² + 36 = 0。
令 u = x²： u² − 13u + 36 = 0，所以 (u − 4)(u − 9) = 0，u = 4 或 u = 9。
回到 x： x² = 4 得 x = ±2，x² = 9 得 x = ±3。
用 y = 6/x 求每个对应值：
| x | 2 | −2 | 3 | −3 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | −3 | 2 | −2 |
答案： (2, 3)、(−2, −3)、(3, 2)、(−3, −2)。
检验： 每一对都满足 xy = 6，且 x² + y² = 4 + 9 = 13 或 9 + 4 = 13。
要小心的错误
常见的失误，是只取正的平方根，或者配对时粗心。
错误答案： x = 2, y = 3 与 x = 3, y = 2。
学生正确解出了 u，却只写 x = √u，忘了 x = −√u 同样满足 x² = u。
更正的办法，是一开平方就写上 ±，并把负的那一对代入两个原方程检验。(−2)(−3) = 6，4 + 9 = 13，所以负的那几对确实是解。画个草图就明白：曲线 xy = 6 在左下方也有一支，而圆同时与两支相交。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 解 xy = 10 与 x² + y² = 29。
查看答案
y = 10/x，所以 x² + 100/x² = 29，得 x⁴ − 29x² + 100 = 0。于是 (x² − 25)(x² − 4) = 0，x = ±5 或 x = ±2。
对应值：依次为 y = 2、−2、5、−5。
(5, 2)、(−5, −2)、(2, 5)、(−2, −5)。 检验：25 + 4 = 29，4 + 25 = 29。
2. 解 y = x² 与 x² + y² = 20。
查看答案
用 y 代替 x²：y + y² = 20，所以 y² + y − 20 = 0，(y + 5)(y − 4) = 0。于是 y = 4 或 y = −5。
y = −5 需要 x² = −5，没有实数解，舍去。当 y = 4 时，x² = 4，x = ±2。
(2, 4) 和 (−2, 4)。 检验：4 + 16 = 20。
3. 解 x² − y² = 5 与 x² + y² = 13。
查看答案
两式相加：2x² = 18，所以 x² = 9，x = ±3。两式相减：2y² = 8，所以 y² = 4，y = ±2。
因为只出现平方，四种组合都成立：(3, 2)、(3, −2)、(−3, 2)、(−3, −2)。 检验 (3, −2)：9 − 4 = 5，9 + 4 = 13。
接下来学什么？
当消元得到重根时，图像的意义就变了，见从几何角度理解重根。无计算器解题训练器帮你保持精确运算，二次结构探索器则展示关于 u 的二次方程是什么样子。
如果你看得懂这些步骤，却在选第一个代入时卡住，我们的老师可以在线上一对一 Additional Mathematics 补习中和你练习这个选择。