这套练习有十二道原创题，由易到难，涵盖线性与非线性联立模型的全部五课。第 1 至 4 题是把直线代入圆，第 5 题是非线性方程组，第 6、7 题关于切线和不相交，第 8、9 题是应用题，第 10 至 12 题含有未知常数。
每题先在纸上做，最后把答案代回两个原方程检验，然后才打开答案。
把做错的题标出来，再用末尾的对照清单。手算之后，可以用直线与圆交点探索器和二次结构探索器来核对。
题目
1. 求 y = x + 2 与 x² + y² = 10 的交点。
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代入：x² + (x + 2)² = 10，所以 2x² + 4x + 4 = 10，x² + 2x − 3 = 0。于是 (x + 3)(x − 1) = 0，x = −3 或 x = 1。
用直线求对应值：y = −1 和 y = 3。
(−3, −1) 和 (1, 3)。 检验：9 + 1 = 10，1 + 9 = 10。
2. 两个数的和是 5，积是 6。求这两个数。
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x + y = 5，xy = 6。令 y = 5 − x：x(5 − x) = 6，所以 x² − 5x + 6 = 0，(x − 2)(x − 3) = 0。
这两个数是 2 和 3。 检验：2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。
3. 解 2x + y = 4 与 x² + y² = 13。
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y = 4 − 2x，所以 x² + (4 − 2x)² = 13。展开：x² + 16 − 16x + 4x² = 13，得 5x² − 16x + 3 = 0。于是 (5x − 1)(x − 3) = 0，x = 1/5 或 x = 3。
对应值：当 x = 3 时，y = −2。当 x = 1/5 时，y = 4 − 2/5 = 18/5。
(3, −2) 和 (1/5, 18/5)。 检验第二个点：1/25 + 324/25 = 325/25 = 13。
4. 求 y = x − 2 与圆 (x − 1)² + (y + 2)² = 25 的交点。
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因为 y + 2 = x，圆方程变成 (x − 1)² + x² = 25。展开：2x² − 2x + 1 = 25，得 x² − x − 12 = 0，(x − 4)(x + 3) = 0。于是 x = 4 或 x = −3。
对应值：y = 2 和 y = −5。
(4, 2) 和 (−3, −5)。 检验 (−3, −5)：(−4)² + (−3)² = 16 + 9 = 25。
5. 解 xy = 4 与 x² + y² = 17。
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y = 4/x，所以 x² + 16/x² = 17，x⁴ − 17x² + 16 = 0。于是 (x² − 1)(x² − 16) = 0，x = ±1 或 x = ±4。
用 y = 4/x 求对应值：x = 1 得 4，x = −1 得 −4，x = 4 得 1，x = −4 得 −1。
(1, 4)、(−1, −4)、(4, 1)、(−4, −1)。 检验：1 + 16 = 17。
6. 证明 y = 2x − 5 是 x² + y² = 5 的切线，并求切点。
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x² + (2x − 5)² = 5 得 5x² − 20x + 25 = 5，所以 5x² − 20x + 20 = 0，x² − 4x + 4 = 0。即 (x − 2)² = 0，这是重根，所以直线是切线。
此时 y = 2(2) − 5 = −1。切点：(2, −1)。 检验：4 + 1 = 5。
7. y = x + 3 与 x² + y² = 4 有几个公共点？
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x² + (x + 3)² = 4 得 2x² + 6x + 9 = 4，所以 2x² + 6x + 5 = 0。判别式为 36 − 4(2)(5) = 36 − 40 = −4，是负数。
没有公共点。 直线与圆不相交。用距离检验：3/√2 约为 2.12，大于半径 2。
8. 一个长方形的周长是 46 cm，对角线是 17 cm。求它的长和宽。
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设边长为 x 和 y。则 x + y = 23，x² + y² = 289。令 y = 23 − x：x² + 529 − 46x + x² = 289，所以 2x² − 46x + 240 = 0，x² − 23x + 120 = 0。于是 (x − 8)(x − 15) = 0。
长方形是 15 cm 乘 8 cm。 检验：2(15 + 8) = 46，225 + 64 = 289。
9. 两个正数相差 3，它们的平方和是 117。求这两个数。
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设两数为 x 和 y，x − y = 3。则 x = y + 3，(y + 3)² + y² = 117，所以 2y² + 6y + 9 = 117，y² + 3y − 54 = 0。于是 (y + 9)(y − 6) = 0。
两数都是正数，舍去 y = −9。所以 y = 6，x = 9。
这两个数是 9 和 6。 检验：9 − 6 = 3，81 + 36 = 117。
10. 求 k 的取值范围，使 y = 2x + k 与 x² + y² = 20 交于两个不同的点。
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x² + (2x + k)² = 20 得 5x² + 4kx + k² − 20 = 0。判别式为 16k² − 20(k² − 20) = 400 − 4k²。有两个交点需要 400 − 4k² > 0，所以 k² < 100。
−10 < k < 10。 用距离检验：相切时 |k|/√5 = √20，得 |k| = 10。
11. 求 k 的取值范围，使 y = x + k 与曲线 y = x² 不相交。
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令 x² = x + k，得 x² − x − k = 0。判别式为 1 + 4k。不相交需要 1 + 4k < 0。
k < −1/4。 用 k = −1 检验：x² − x + 1 = 0 的判别式是 1 − 4 = −3，为负数，所以没有实数根。
12. 直线 y = 2x + k 是曲线 y = x² − 4x + 7 的切线。求 k 和切点。
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令 x² − 4x + 7 = 2x + k，得 x² − 6x + (7 − k) = 0。判别式为 36 − 4(7 − k) = 8 + 4k。相切时 8 + 4k = 0。
k = −2。 此时 x² − 6x + 9 = 0，所以 x = 3，y = 2(3) − 2 = 4。切点：(3, 4)。 检验：9 − 12 + 7 = 4。
如果做错了
- 括号展开错误，或漏了中间项（第 1、3、4 题）：回到把直线代入圆的关系式。
- 丢根、漏掉负数的一对，或保留了不可能的根（第 2、5 题）：回到从非线性方程组中消去变量。
- 把单一答案当成错误，或没有求出切点（第 6、7、12 题）：回到从几何角度理解重根。
- 从文字列错了方程（第 8、9 题）：回到由两个限制条件列出方程组。
- k 的范围错了，或只写了一边（第 10、11、12 题）：回到按交点个数要求检验参数取值。
把每个错误记在错题记录与重测队列里，几天后再做一道新题。判别式的部分依赖于二次结构与判别式。
如果同一类错误一再出现在你的书面解答里，老师可以在线上一对一 Additional Mathematics 补习中和你一起研究。