要由两个限制条件列出方程组，先给未知数命名，把每个条件写成一个方程，再用代入法解这对方程。其中一个条件通常是线性的，例如和或差；另一个是非线性的，例如乘积、面积或勾股定理。
本课用到把直线代入圆和从非线性方程组中消去变量的消元技巧，属于线性与非线性联立模型。
怎样把文字变成方程？
先读一遍题目，找出未知数，再读一遍，找出各个事实。每个事实变成一个方程。
| 文字 | 方程 |
|---|---|
| 长方形周长为 P | 2x + 2y = P，所以 x + y = P/2 |
| 面积为 A | xy = A |
| 对角线为 d | x² + y² = d² |
| 两个数相差 3 | x − y = 3 |
| 平方和为 S | x² + y² = S |
然后选出线性方程，整理后代入非线性方程。线性方程能让运算更短。
例题详解
一块长方形花园的周长是 34 m，对角线是 13 m。求它的长和宽。
定义： 设长为 x m，宽为 y m。
条件 1，周长： 2x + 2y = 34，所以 x + y = 17。
条件 2，对角线： 由勾股定理，x² + y² = 13² = 169。
代入： y = 17 − x，所以 x² + (17 − x)² = 169。
展开： x² + 289 − 34x + x² = 169，所以 2x² − 34x + 120 = 0，再化为 x² − 17x + 60 = 0。
求解： (x − 5)(x − 12) = 0，所以 x = 5 或 x = 12。
对应值： 若 x = 5，则 y = 12；若 x = 12，则 y = 5。这是同一个长方形，只是字母互换。
答案： 花园是 12 m 乘 5 m。
检验： 2(12 + 5) = 34，12² + 5² = 144 + 25 = 169。
要小心的错误
典型的错误，是把整个周长当成 x + y。
错误写法： 周长 34，所以 x + y = 34。
学生忘了长方形有两条长和两条宽，所以 x + y 只是周长的一半。
用 x + y = 34 代入，得到 x² + (34 − x)² = 169，进而 2x² − 68x + 987 = 0。它的判别式是 68² − 4(2)(987) = 4624 − 7896，是负数，所以没有实数解。
结果说这个长方形不存在，就是要回头检查第一个方程的信号。更正的办法是取周长的一半：长方形周长是 2x + 2y，所以 x + y = 17。
自我检测
先在纸上做，再打开答案。
1. 两个数的和是 10，积是 21。求这两个数。
查看答案
x + y = 10，xy = 21。代入 y = 10 − x：x(10 − x) = 21，所以 x² − 10x + 21 = 0，(x − 3)(x − 7) = 0。
这两个数是 3 和 7。 检验：3 + 7 = 10，3 × 7 = 21。
2. 一个直角三角形的斜边是 13 cm，较短直角边比较长直角边短 7 cm。求两条直角边。
查看答案
设较长边为 x，较短边为 y。则 x − y = 7，x² + y² = 169。代入 x = y + 7：(y + 7)² + y² = 169，所以 2y² + 14y + 49 = 169，y² + 7y − 60 = 0。于是 (y + 12)(y − 5) = 0，y = −12 或 y = 5。
长度不能是负数，舍去 y = −12。所以 y = 5，x = 12。
两条直角边是 12 cm 和 5 cm。 检验：144 + 25 = 169。
3. 一个长方形的面积是 48 cm²，周长是 28 cm。求它的边长。
查看答案
xy = 48，x + y = 14。代入 y = 14 − x：x(14 − x) = 48，所以 x² − 14x + 48 = 0，(x − 6)(x − 8) = 0。
边长是 6 cm 和 8 cm。 检验：6 × 8 = 48，2(6 + 8) = 28。
接下来学什么？
当你能稳定地列出方程组之后，下一步就是问它有几个解，见按交点个数要求检验参数取值。无计算器解题训练器让精确运算保持整洁，二次结构探索器则展示得到的二次方程长什么样。
如果丢分的地方是把文字翻译成方程，我们的老师可以在线上一对一 Additional Mathematics 补习中用新的情境和你练习。