r = p + λd 中哪一部分表示方向？

乘以 λ 的向量 d 表示方向。向量 p 是直线上某一点的位置。改变 p 会把直线平移到别处，改变 d 则会让直线转向。

(4, −6) 和 (2, −3) 是同一个方向吗？

是。(4, −6) = 2(2, −3)，两者沿同一条直线。方向向量的任何非零倍数都是该直线的另一个方向向量，包括指向相反方向的负倍数。

令方程等于该点，先由一个坐标解出 λ，再检查另一个坐标是否得到同一个 λ。如果是，点在直线上；如果不是，点就不在直线上。

在 r = p + λd 中，向量 p 说明直线经过哪里，d 说明它朝哪个方向延伸。d 的任何非零倍数都给出相同的方向，所以当两条直线的方向向量互为倍数时，它们平行。

这一课补齐了二维向量证明的工具箱。

直线 l：r = (2, −1) + λ(4, −6)。(a) 写出更简单的方向向量和斜率。(b) (8, −10) 在 l 上吗？(c) (6, −8) 在 l 上吗？

(a) (4, −6) = 2(2, −3)，所以更简单的方向是 (2, −3)。斜率是 −3 ÷ 2 = −3/2。

(b) x：2 + 4λ = 8，所以 λ = 3/2。y：−1 − 6λ = −1 − 9 = −10。与 y 值吻合，所以 (8, −10) 在 l 上。

(c) x：2 + 4λ = 6，所以 λ = 1。y：−1 − 6(1) = −7，但该点的 y = −8。两个坐标不一致，所以 (6, −8) 不在 l 上。

常见的失误是只检查 x 值。

错误做法： “对 (6, −8)：2 + 4λ = 6，所以 λ = 1。存在 λ，所以该点在直线上。”

学生根本没有检验 y。

只看一个坐标，总能解出某个 λ。只有当同一个 λ 同时符合两个坐标时，点才在直线上。一定要把 λ 带到第二个坐标去核对。

1. 直线 r = (3, 1) + λ(−2, 5)。写出 x 分量为正的一个方向向量，以及斜率。

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把 (−2, 5) 乘以 −1 得 (2, −5)。斜率 = −5 ÷ 2。

方向 (2, −5)，斜率 −5/2

2. r = (1, 1) + λ(3, −2) 与 r = (0, 4) + μ(−6, 4) 平行吗？它们是同一条直线吗？

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(−6, 4) = −2(3, −2)，所以两线平行。(0, 4) 在第一条线上吗？1 + 3λ = 0 得 λ = −1/3，此时 y = 1 − 2(−1/3) = 5/3，不是 4。

平行，但不是同一条直线。

3. 直线 r = (1, 0) + λ(2, k) 经过 (7, 6)。求 k。

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x：1 + 2λ = 7，所以 λ = 3。y：0 + 3k = 6。

k = 2

在二维向量证明练习中把五项技能合在一起使用。如果参数的运算还需要时间，可以回头复习求交点。

如果你能读懂方程，但一到规划整个证明就犹豫，我们的老师可以通过线上一对一附加数学补习帮助你。