图像解是从图像或计算器求解功能读出的数值，所以它是近似值。精确解来自代数推导，可能包含分数或像 √5 这样的根式（surd）。考试会根据指令词要求其中一种，所以你要清楚自己写的是哪一种。
怎样判断题目要哪一种？
在碰计算器之前，先看题目的措辞。
- “Solve”“show that”“find the exact value”： 需要代数推导。图像可以给你提示，但它不是答案。
- “Use your graph to solve”或“estimate”： 预期从图像读数，通常会说明精度。
- “Give your answer correct to 3 significant figures”： 先精确计算或用求解功能，最后只取一次近似。
两种情况同时出现时，用图像看清应该有几个解，并用它来核对代数结果。
例题
先用图像，再用精确方法解 x² = x + 6。
图像： 画 y = x² 和 y = x + 6。交点功能给出 x = −2 和 x = 3，交点为 (−2, 4) 和 (3, 9)。
精确： x² − x − 6 = 0，所以 (x − 3)(x + 2) = 0，得 x = 3 或 x = −2。
代入验证： 3² = 9，3 + 6 = 9。(−2)² = 4，−2 + 6 = 4。两边吻合。
这里图像给出的是整数，所以图像和代数完全一致。但情况并不总是这样。
小数不是全部
解 x² − 2x − 4 = 0。
图像： 计算器显示根约为 x = 3.236067977 和 x = −1.236067977。
精确： 用公式得 x = (2 ± √(4 + 16))/2 = (2 ± √20)/2 = 1 ± √5。
验证： √5 ≈ 2.236068，所以 1 + √5 ≈ 3.236068，1 − √5 ≈ −1.236068，与屏幕一致。精确到 2 位小数是 3.24 和 −1.24。
根式形式 1 ± √5 才是精确答案，小数只是它的近似值。
要避免的错误
错误的解答： “x² − 2x − 4 = 0。从我的图像看，x = 3.2 和 x = −1.2。”
这里有两个问题。题目没有要求，数值却取到 1 位小数。更重要的是，如果题目说的是 solve，从图像读数只是线索，不是方法。
纠正的方法是写出方程，用公式或配方法，再写出精确形式和近似形式。图像变成验证，而不是证明。
自我检测
1. 精确地解 x² = 2x + 8。然后说明 y = x² 与 y = 2x + 8 的交点表示什么。
显示答案
x² − 2x − 8 = 0 得 (x − 4)(x + 2) = 0，所以 x = 4 或 x = −2。验证：16 = 8 + 8，4 = −4 + 8。两条图像交于 (4, 16) 和 (−2, 4)。
2. 解 x² + 3x − 1 = 0，答案取 2 位小数。
显示答案
x = (−3 ± √(9 + 4))/2 = (−3 ± √13)/2。√13 ≈ 3.605551。所以 x ≈ 0.302776 或 x ≈ −3.302776。取 2 位小数：x = 0.30 或 x = −3.30。
3. 计算器把 x² − 2 = 0 的根显示为 1.414213562。精确值是什么？怎样取 3 位有效数字？
显示答案
x² = 2，所以正根精确地是 √2，另一个根是 −√2。取 3 位有效数字，√2 ≈ 1.41。
接下来学什么？
下一课是应该保留几位小数或有效数字。如果想同时看到根、转折点和不同形式，二次函数结构探索器会有帮助，而图像模型探索器则展示拟合图像与数据的比较。完整路线见单元总览。
有些学生既会用代数解，也会用图像解，却分不清题目要哪一种。一对一线上数学补习的老师可以用你自己以前的错题来训练这一点。