要用图像解 f(x) = g(x)，就在同一组坐标轴上画出 y = f(x) 和 y = g(x)。两条图像交点的 x 值就是解。因为你是从图上读出来的，答案只是估算值，而代入检验可以显示它有多接近。
这是图像与变换的最后一课，把图像重新连回方程。它建立在准确描点以及平移和反射的想法之上。
怎样使用交点？
第一步，把方程写成两个函数，每边一个。要解 x² = x + 3，就画 y = x² 和 y = x + 3。
第二步，用合适的比例尺把两者仔细画在同一组坐标轴上，曲线要先列值表。
第三步，读出每个交点的 x 坐标。按题目要求的精确度作答，并代回原方程检验。
例题详解
用图像解 x² − x − 3 = 0，每个答案精确到 1 位小数。
第一步，移项： x² = x + 3。画 y = x² 和直线 y = x + 3。
第二步，y = x² 的值表：
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
直线 y = x + 3 经过 (−2, 1)、(0, 3) 和 (2, 5)。
第三步，读图： 两个图像大约在 x = −1.3 和 x = 2.3 处相交。
第四步，检验： x = 2.3 时，x² = 5.29，x + 3 = 5.3，相差只有 0.01。x = −1.3 时，x² = 1.69，x + 3 = 1.7，同样只差 0.01。两个读数都很准确。
解是 x ≈ −1.3 和 x ≈ 2.3。用公式可得 2.303 和 −1.303，与读数吻合。
要留意的错误
常见的失误是写出交点的坐标，或者只写出其中一个交点。
错误的答案： “解是 (2.3, 5.3)。”
学生给出的是一个点。方程问的是 x 的值，而且有两个交点。
纠正的办法是只读 x 坐标：x ≈ −1.3 和 x ≈ 2.3。y 值 5.3 对代入检验有用，但它不是解。写答案之前，先数一数有几个交点。
自我检测
不用计算器试做这些题，然后打开答案。
1. y = 2x + 1 和 y = x² − 2 的图像相交。精确求出交点的 x 值并检验。
显示答案
令 x² − 2 = 2x + 1，得 x² − 2x − 3 = 0，可分解为 (x − 3)(x + 1) = 0。所以 x = 3 或 x = −1。检验：x = 3 时，2(3) + 1 = 7，9 − 2 = 7。x = −1 时，2(−1) + 1 = −1，1 − 2 = −1。
2. 要解 x² = 2x + 1，该画哪两个图像？解精确到 1 位小数是多少？
显示答案
画 y = x² 和 y = 2x + 1。方程变成 x² − 2x − 1 = 0，x = 1 ± √2，得 x ≈ 2.4 和 x ≈ −0.4。检验：2.4² = 5.76，2 × 2.4 + 1 = 5.8。又 (−0.4)² = 0.16，2(−0.4) + 1 = 0.2。
3. 已画出曲线 y = x² − 3x。要解 x² − 3x = 4，应再加哪条水平线？解是什么？
显示答案
加上 y = 4。方程变成 x² − 3x − 4 = 0，所以 (x − 4)(x + 1) = 0，x = 4 或 x = −1。检验：16 − 12 = 4，1 + 3 = 4。
接下来学什么
在图像与变换练习中把所学全部结合起来。需要手动检验代入时，免计算器步骤训练器会有帮助。
图像能给出不错的估算，但有些学生仍然在读数或写法上丢分。一对一线上数学补习的老师可以看出问题出在比例尺、读数还是代数。