平移（translation） 是把图像整体滑动，不旋转也不改变大小。在函数外面加一个数，y = f(x) + a，图像向上移 a。改变括号里面的 x，y = f(x − a)，图像向右移 a。形状保持不变，每个点移动的量都相同。
这一课建立在解读斜率与截距之上，属于图像与变换。请到 Cambridge 官网课程大纲页面，确认你所属级别使用的变换记法。
平移怎样改变方程？
有两种互相独立的移动。
竖直移动： y = f(x) + a。每个 y 值增加 a，所以图像上移 a（若 a 为负则下移）。这一种与直觉一致。
水平移动： y = f(x − a)。图像向右移 a。符号感觉相反，是因为新图像需要更大的 x 才能得到同样的输出。如果 f(x) 的顶点在 x = 0，那么 f(x − 3) 的顶点在 x − 3 = 0 的地方，也就是 x = 3。
两者合起来，y = f(x − a) + b 就是按列向量 (a, b) 的平移。
例题详解
从 y = x² 开始。写出按向量 (3, −2) 平移之后的方程，并求四个点的新位置。
第一步，方程： 向右移 3，x 换成 (x − 3)；向下移 2，减去 2。所以 y = (x − 3)² − 2。
第二步，移动各点： 每个 x 加 3，每个 y 减 2。
| 原来的点 | 新的点 |
|---|---|
| (0, 0) | (3, −2) |
| (1, 1) | (4, −1) |
| (2, 4) | (5, 2) |
| (−1, 1) | (2, −1) |
第三步，用方程检验： x = 4 时，(4 − 3)² − 2 = 1 − 2 = −1。x = 5 时，(5 − 3)² − 2 = 4 − 2 = 2。x = 2 时，(2 − 3)² − 2 = 1 − 2 = −1。全部与表格吻合。
y = x² 原来的顶点是 (0, 0)，现在在 (3, −2)，可以直接从方程读出来。
要留意的错误
常见的失误是括号内的变化移错了方向。
错误的答案： “y = (x + 2)² 是把 y = x² 向右移 2。”
学生看到加号，就往正方向移。
用一个点测试就能纠正。对 y = (x + 2)²，顶点在 x + 2 = 0 的地方，所以 x = −2。
图像其实是向左移了 2。代入 x = −2 得 y = 0，证实顶点在 (−2, 0)。
自我检测
不用计算器试做这些题，然后打开答案。
1. 描述把 y = x² 变成 y = x² + 5 的平移，并写出新的顶点。
显示答案
5 加在外面，所以图像向上移 5 个单位，向量是 (0, 5)。顶点从 (0, 0) 移到 (0, 5)。
2. 描述把 y = x² 变成 y = (x + 4)² 的平移。
显示答案
顶点在 x + 4 = 0 处，所以 x = −4。图像向左移 4 个单位，向量是 (−4, 0)。
3. 直线 y = 2x 按向量 (3, 0) 平移。求新方程并检验。
显示答案
把 x 换成 (x − 3)：y = 2(x − 3) = y = 2x − 6。检验：点 (0, 0) 移到 (3, 0)，而 2 × 3 − 6 = 0，所以 (3, 0) 在新直线上。
接下来学什么
接下来，看看翻转是怎么回事：认识图像反射的效果，再在图像与变换练习中把两种想法混合使用。二次函数结构探索器让你改变二次函数并观察顶点的移动，图像模型探索器则展示拟合的直线或曲线怎样取决于它的参数。
有些学生能看懂例题里的平移，但遇到新的函数时，在符号上犹豫。这正是老师在一对一线上数学补习中能很快找出的情况。