相同的涨跌百分比不会互相抵消，因为第二个百分比是按不同的基数计算的。先涨 20% 再跌 20%，相当于乘以 1.2 × 0.8 = 0.96，结果比起点低 4%。
这一课是连续增加与减少方法中最清楚的例子，也为百分比与基数变化的推理部分画上句号。
真正的原因是什么？
百分比永远是”某样东西的一部分”。这个”某样东西”在第一步之后就变了。
如果从 100 开始加 20%，你加了 20。新的总数是 120。
现在取 120 的 20%，是 24。下跌减去 24，比加上去的 20 更多。最后停在 96。
考试中怎样解释？
完整的答案通常有三部分。
- 用一个例子或一个字母。 从 100 开始，或把原数额记作 x。
- 写出乘数。 涨 20% 是 ×1.2，跌 20% 是 ×0.8。
- 说明结果和原因。 1.2 × 0.8 = 0.96，小于 1，因为下跌的百分比是按较大的数额计算的。
要写一般性的结论，可以把 r 写成小数。先涨 r 再跌 r，乘数是 (1 + r)(1 − r) = 1 − r²。因为 r² 是正数，所以乘积总是小于 1。
例题详解
一个包包的价格是 RM100。先涨价 20%，再把新价格降低 20%。解释为什么最终价格不是 RM100。
第一步，套用上涨： 100 × 1.2 = 120。
第二步，套用下跌： 120 × 0.8 = 96。
第三步，求净变化： 96 − 100 = −4，所以价格比起点低 4%。
第四步，用乘数： 1.2 × 0.8 = 0.96，比 1 低 4%。
解释： 那 20% 的下跌是按 RM120 算的，不是 RM100。它减去 RM24，而上涨只加了 RM20。
换个顺序再检查。 先跌：100 × 0.8 = 80，再涨：80 × 1.2 = 96。最终结果相同，都是 96。✓
要留意的错误
失误是以为两次变化是”相反的”。
错误答案： +20% 和 −20% 互相抵消，所以价格回到 RM100。
学生把两个百分比当成相同的金额。其实它们是不同数额的相同百分比。
改正的方法是写下每个阶段之后的数额。
只有当百分比按同一个基数计算时才会互相抵消。下跌 20% 需要上涨 25% 才能恢复，因为 80 × 1.25 = 100。恢复所需的涨幅较大，是因为它作用在较小的数额上。
自我检测
先不用计算器试做，再打开答案核对。
1. RM50 先增加 10%，再减少 10%。求最终数额和整体百分比变化。
查看答案
50 × 1.1 = 55。然后 55 × 0.9 = RM49.50。总乘数 1.1 × 0.9 = 0.99，所以减少 1%。
检查：50 的 1% 是 0.50，50 − 0.50 = 49.50。✓
2. 某股票价格下跌 50%。要上涨多少百分比才能回到原来的价值？
查看答案
下跌后的乘数是 0.5。要回到 1，需要 1 ÷ 0.5 = 2。乘数 2 表示上涨百分之一百。
检查：从 80 开始，跌到 40，再翻倍回到 80。✓
3. RM240 先减少 25%，再增加 25%。求最终数额和整体百分比变化。
查看答案
240 × 0.75 = 180。然后 180 × 1.25 = RM225。总乘数 0.75 × 1.25 = 0.9375，所以变化是减少 6.25%。
检查：225 ÷ 240 = 0.9375。✓
下一步
用百分比练习题组把五课内容混合练习，并用百分比基数探索器在屏幕上观察基数的变化。无计算器运算训练能帮你练习小数运算步骤。
好的解释本身就是一项独立的技能，与算出正确的数不同。在数学线上一对一补习中，老师可以阅读你写下的推理，帮你把它写得更精炼。