当数据被分成组距时，每个个别的值都被它所在的组取代。你仍然可以估算平均数，找出众数组和包含中位数的组，但不能说出像最高分这样的精确值。这项技能属于统计与分布，建立在加权平均的基础上。
分组表丢失了什么信息？
一张写着 10 < t ≤ 20 的频数是 9 的表格，告诉你有九个人花了 10 到 20 分钟。它没有告诉你他们是用了 11 分钟还是 19 分钟。正因为丢失了这些细节，分组数据得出的每个答案都要带上“估算”之类的字眼。
两个习惯能帮你少出错。所有计算都使用每一组的组中值。把结果描述为估算值、某一组或可能值的范围，永远不要说成精确的原始值。
如何处理分组表，一步一步来
- 把频数相加，得到数据总个数。
- 求每组的组中值：两个组界相加再除以 2。
- 把每个组中值乘以其频数，再把结果相加。
- 除以总频数，得到估算的平均数。
- 求众数组： 选频数最大的那一组（组距相等时）。
- 求中位数所在组： 找出中间位置，用频数的累计数判断。
例题
二十名学生记录了走路上学所花的时间。
| 时间 t（分钟） | 频数 |
|---|---|
| 0 < t ≤ 10 | 4 |
| 10 < t ≤ 20 | 9 |
| 20 < t ≤ 30 | 5 |
| 30 < t ≤ 40 | 2 |
第 1 步，总数： 4 + 9 + 5 + 2 = 20。
第 2 步，组中值： 5、15、25 和 35。
第 3 步，乘积： 4 × 5 = 20，9 × 15 = 135，5 × 25 = 125，2 × 35 = 70。总和是 350。
第 4 步，估算平均数： 350 ÷ 20 = 17.5 分钟。
第 5 步，众数组： 最高频数是 9，所以众数组是 10 < t ≤ 20。
第 6 步，中位数所在组： 20 个值的中间位于第 10 和第 11 个之间。累计频数是 4、13、18、20。累计数在第二组首次达到 10 以上，所以中位数在 10 < t ≤ 20 这一组。
平均数的范围： 如果每名学生都在其组的下限，平均数是 (0 + 90 + 100 + 60) ÷ 20 = 12.5。如果每名学生都在上限，平均数是 (40 + 180 + 150 + 80) ÷ 20 = 22.5。真正的平均数介于 12.5 与 22.5 分钟之间，而 17.5 正好在它们的中间。
要留意的错误
常见的失误是从一个组里读出精确值。
错误答案： “最长的一次走了 40 分钟，所以极差是 40 分钟。”
表格只说明最长的一次落在 30 < t ≤ 40 这一组，可能是 31 分钟。最短的一次也只知道大于 0。
纠正的方法是改写说法，让表格能支持它：“最长的一次超过 30 分钟，不超过 40 分钟。”平均数也要同样小心：要说“估算为 17.5 分钟”，而不是“平均数是 17.5”。
自我检测
做做这几题，然后打开每题的答案。
1. 二十名学生的身高：140 < h ≤ 150 的频数是 3，150 < h ≤ 160 的频数是 10，160 < h ≤ 170 的频数是 7。估算平均身高。
查看答案
组中值：145、155 和 165。乘积：3 × 145 = 435，10 × 155 = 1550，7 × 165 = 1155。总和 = 3140。
3140 ÷ 20 = 157 cm（估算值）。
2. 在同一张表里，中位数在哪一组？
查看答案
共有 20 个值，所以中位数位于第 10 和第 11 个之间。累计频数是 3、13、20。第 10 和第 11 个值都在第二组。
中位数在 150 < h ≤ 160。
3. 一名学生说：“至少有一个人的身高恰好是 169 cm。”这张表足以支持这句话吗？
查看答案
不能。表格只显示有 7 个人高于 160 cm 且不超过 170 cm。他们的确切身高没有记录，所以不能宣称存在 169 cm 这样的具体数值。
下一步
当你能处理分组表说了什么、没说什么之后，继续学习同时比较离散程度与集中趋势。统计与分布探索器让你改变组界并观察估算值的移动，无计算器运算训练对组中值的乘法很有用。之后再试试综合练习题组。
学生常常能正确算出估算平均数，却在最后一句话里把它说成精确值。检查这类措辞，是数学线上一对一补习的日常内容。