这组练习有十二道原创题，由易到难，涵盖统计与分布的全部五个课程。第 1 至 4 题是关于平均数的热身，第 5 至 8 题涉及加权与分组数据，第 9 至 12 题混合各项技能和措辞。
先在纸上做每一题，题目要求说明理由时，写一句结论。然后再打开答案。标出做错的题，并使用末尾的对照清单。
手算之后，可以用统计与分布探索器检查一小组数据。
题目
1. 求 3、5、5、6、8、9、5 的平均数、中位数、众数和极差。平均数保留 2 位小数。
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总和 = 3 + 5 + 5 + 6 + 8 + 9 + 5 = 41，共 7 个值，所以平均数是 41 ÷ 7 = 5.857…，即 5.86。
按顺序：3、5、5、5、6、8、9。中间（第 4 个）值是 5，所以中位数是 5。5 出现三次，所以众数是 5。极差是 9 − 3 = 6。
2. 五个值是 1、2、2、3、12。求平均数和中位数，并说明哪一个更能代表典型值。
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平均数：1 + 2 + 2 + 3 + 12 = 20，20 ÷ 5 = 4。中位数：中间的值是 2。
中位数更能代表典型值。12 离其他值很远，把平均数拉到 4，比五个值中的四个都大。
3. 一家店卖 T 恤，尺码 S（4 件）、M（15 件）、L（9 件）、XL（2 件），括号内是卖出件数。老板应该用哪种平均数来决定多进哪个尺码？答案是什么？
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题目问的是最受欢迎的选择，所以用众数。最高频数是 15，所以众数尺码是 M。对于用字母表示的尺码，平均数或中位数没有意义。
4. 五套房子的价格（RM 千）是 310、320、330、340 和 1700。卖家说典型价格大约是 RM600 千。这个说法公平吗？请写出数字。
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平均数：310 + 320 + 330 + 340 + 1700 = 3000，3000 ÷ 5 = 600。中位数 = 330。
卖家报的是平均数。五套房子中有四套不超过 RM340 千，所以 RM600 千并不典型。中位数 RM330 千更公平，因为那一套昂贵的房子把平均数拉高了。
5. 最终成绩由 60% 笔试和 40% 专题作业组成。一名学生笔试得 55 分，专题作业得 80 分。求最终成绩。
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0.6 × 55 = 33，0.4 × 80 = 32。相加得 33 + 32 = 65。
检查：65 介于 55 和 80 之间，而且更接近 55，因为笔试的权重更大。
6. 一个班有 12 名男生，平均身高 165 cm；有 18 名女生，平均身高 160 cm。求全部 30 名学生的平均身高。
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男生：12 × 165 = 1980。女生：18 × 160 = 2880。总和 = 4860，共 30 名学生。
4860 ÷ 30 = 162 cm。不是 162.5，那是把两个平均数再平均的结果，因为女生人数比男生多。
7. 六个数的平均数是 8。加入第七个数后，平均数变成 9。求第七个数。
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六个数的总和 = 6 × 8 = 48。七个数的总和 = 7 × 9 = 63。
第七个数是 63 − 48 = 15。
检查：(48 + 15) ÷ 7 = 63 ÷ 7 = 9。
8. 20 个包裹的重量分组如下。
| 重量 w（kg） | 频数 |
|---|---|
| 0 < w ≤ 2 | 6 |
| 2 < w ≤ 4 | 10 |
| 4 < w ≤ 6 | 3 |
| 6 < w ≤ 10 | 1 |
(a) 估算平均重量。(b) 写出众数组。(c) 中位数在哪一组？
(d) 你能说最重的包裹恰好是 10 kg 吗？
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(a) 组中值是 1、3、5 和 8。乘积：6 × 1 = 6，10 × 3 = 30，3 × 5 = 15，1 × 8 = 8。总和 = 59。估算平均数 = 59 ÷ 20 = 2.95 kg。
(b) 最高频数是 10，所以众数组是 2 < w ≤ 4。
(c) 中位数位于第 10 和第 11 个值之间。累计频数是 6、16、19、20，所以两者都在 2 < w ≤ 4。
(d) 不能。 只知道最重的包裹大于 6 kg 且不超过 10 kg。
9. 利用第 8 题的表格，求平均数可能取到的最小值和最大值。
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最小值：用各组下限。(0 × 6 + 2 × 10 + 4 × 3 + 6 × 1) ÷ 20 = (0 + 20 + 12 + 6) ÷ 20 = 38 ÷ 20 = 1.9 kg。
最大值：用各组上限。(2 × 6 + 4 × 10 + 6 × 3 + 10 × 1) ÷ 20 = (12 + 40 + 18 + 10) ÷ 20 = 80 ÷ 20 = 4 kg。
估算值 2.95 介于 1.9 和 4 之间，正如应有的那样。
10. 数据组 P 是 10、12、14、16、18。数据组 Q 是 2、8、14、20、26。用一个平均数和极差比较这两组。
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P：总和 70，平均数 14，中位数 14，极差 18 − 10 = 8。Q：总和 70，平均数 14，中位数 14，极差 26 − 2 = 24。
比较： 两组的平均数和中位数都是 14，但 P 的极差小得多（8 对 24），所以 P 的值更稳定。
11. 一名学生在第 1 份试卷得 70 分，这份试卷占最终成绩的 40%。第 2 份试卷占 60%。她需要总成绩达到 76。她在第 2 份试卷必须得多少分？
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第 1 份试卷贡献 0.4 × 70 = 28。她需要从第 2 份试卷得到 76 − 28 = 48，权重是 0.6。
第 2 份试卷分数 = 48 ÷ 0.6 = 80。
检查：28 + 0.6 × 80 = 28 + 48 = 76。
12. 一名记者调查了国际象棋社的 30 名成员。其中二十四人说数学是他们最喜欢的科目。她写道：“学校里 80% 的学生最喜欢数学。”请评论这个结论。
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24 ÷ 30 = 0.8，所以样本中有 80% 选了数学。计算是对的。
这个结论没有依据。国际象棋社的成员不能代表整所学校，所以样本有偏差，而且 30 人相对于整个总体来说太少。数据能支持的是“被问到的 30 名国际象棋社成员中，有 80% 选了数学”。
如果你做错了
- 第 1 至 4 题，选错平均数或没写理由： 重温为指定问题选择平均数。
- 第 5 至 7 题和第 11 题，把平均数再平均或漏掉权重： 回到计算加权平均。
- 第 8 和 9 题，从表格宣称精确值： 重读解读分组数据。
- 第 10 题，只比较集中趋势： 使用同时比较离散程度与集中趋势。
- 第 12 题，因为百分数对就接受说法： 重温识别样本无法支持的结论。
错题记录与重测队列帮你记录每种错误类型，并在几天后用新题回头练习。无计算器运算训练对较大的乘法很有用。
如果同一类错误总是回来，数学线上一对一补习能让一位经验丰富的老师跟着你的书面解题过程，帮你改掉背后的习惯。