定积分可以是负数吗？

可以。定积分衡量的是带符号的面积：曲线在 x 轴上方的部分为正，下方的部分为负。结果为负，表示在这个范围内轴下方的区域比轴上方的更大。几何面积永远不会是负数。

什么时候需要把积分分段？

只要曲线在上下限之间穿过 x 轴就要分段。解 y = 0 找出交点，分别对每一段积分，把每段取为正值，再相加。如果曲线始终在轴的同一侧，就不需要分段。

是的。对速度积分得到带符号的位移，而路程是所有移动量大小的总和。在速度变号的时刻分段，就能把两者分开，这与把带符号积分和面积分开的做法完全一样。

快速画个草图或检查符号，是知道曲线在哪里穿过轴的最稳妥方法。草图不必精确，只要显示哪些部分在上方、哪些在下方。即使是粗略的草图，也能避免大多数这类错误。

定积分（definite integral）给出的是带符号面积，而几何面积永远是正的。 当曲线在上下限之间穿过 x 轴，两者就不相同，要哪一个由题目决定。

能解决这个问题的习惯很简单：积分之前，先找出曲线与轴相交的位置。

把积分想成把许多高度为 y 的小条相加。轴上方的小条高度为正，起加的作用。轴下方的小条高度为负，起减的作用。

所以积分是”上方面积减去下方面积”，可以是正、负或零。日常意义上的面积是”上方面积加上下方面积”，每一部分都取正值。

只有曲线在整个区间内始终在轴的同一侧时才相同。若全在上方，积分就是面积。若全在下方，面积是积分取相反数。

只要曲线在上下限之内穿过轴，就必须分段。

求 (a) x² − 4 从 x = 0 到 x = 3 的积分值，(b) 曲线 y = x² − 4、x 轴以及直线 x = 0 和 x = 3 之间的总面积。

第 1 步：原函数。 ∫(x² − 4) dx = x³/3 − 4x。

(a) 带符号的值。 x = 3 时：9 − 12 = −3。x = 0 时：0。所以积分是 −3 − 0 = −3。

(b) 面积。 先找交点：x² − 4 = 0 得 x = 2（x = −2 不在区间内）。曲线在 0 到 2 之间位于轴下方，在 2 到 3 之间位于轴上方。

总面积 = 16/3 + 7/3 = 23/3，即 7 又 2/3。

检查： 把带符号的两段相加，−16/3 + 7/3 = −9/3 = −3，与 (a) 吻合。这两个答案是针对不同问题的不同数字。

学生算出 −3，然后写”面积 = −3”，或者去掉符号后写”面积 = 3”。两种都错，原因不同。

“面积 = −3” 错在面积不可能为负。“面积 = 3” 错在负的部分（16/3）和正的部分（7/3）在积分里已经部分抵消了。事后去掉符号无法恢复已经抵消的部分。唯一的补救是在相加之前于 x = 2 处分段。

显示答案

原函数 x²/2 − 2x。x = 3 时：4.5 − 6 = −1.5。x = 1 时：0.5 − 2 = −1.5。积分 = 0。交点在 x = 2。1 到 2：(2 − 4) − (−1.5) = −0.5，面积 0.5。2 到 3：(−1.5) − (−2) = 0.5。总面积 = 1。
原函数 x⁴/4。x = 1 时：1/4。x = −1 时：1/4。积分 = 0。由对称性，面积是 2 × 1/4 = 1/2。
原函数 t²/2 − 4t。t = 6 时：18 − 24 = −6。所以位移是 −6 m。速度在 t = 4 时为零。0 到 4：8 − 16 = −8。4 到 6：−6 − (−8) = 2。路程 = 8 + 2 = 10 m。

同样的分段思路在面积与运动中教授：参见面积变号时把区间分段和路程与位移的区别。要检查积分这一步本身，请复习积分方法。

你可以在二次函数结构探索器中测试任何二次函数的交点，也可以用无计算器解题训练器练习 16/3 这样的分数运算。带符号面积、位移等词汇见 Additional Mathematics 术语指南。

如果草图仍然不能帮你决定解题步骤，线上一对一 Additional Mathematics 补习让老师陪你一题一题地画图。