猜想是一条精确的陈述，说明一个规则与你见过的每个情形都吻合，而且写得让别的情形有机会推翻它。要形成猜想，先从表格读出差和结构，用 n 写出规则，再用一个你没用过的情形检验。
这一课接在系统地列举情形之后，属于International Mathematics 探究题。同样的差分方法也出现在数列与规律中。
怎样从表格读出规则？
有两个习惯很有用。第一是差分法：用后一个值减去前一个值。第二是结构法：用文字或图，解释每个情形是怎样构成的。
一阶差为常数，说明规则是线性的，例如 3n + 1。如果一阶差本身以固定的量增加，规则就含有 n²。结构解释通常会给出同一条规则，并附上理由。
一步一步走向猜想
- 列表，至少五个连续的情形。
- 求一阶差，必要时求二阶差。
- 用一句话描述每个情形的结构。
- 写出候选规则，用 n 表示，并检查它与表格每一行都吻合。
- 用完整的句子写出猜想，包括它适用于 n 的哪些值。
- 预测一个新情形，再把它做出来或算出来，检验猜想。
例题
在 n 个人的小组里，每个人与其他每个人握手一次。设 H 为握手的总次数。
第 1 步，表格：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| H | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
第 2 步，差： 1、2、3、4、5。差不是常数，所以规则不是线性的。差每次增加 1。
第 3 步，结构： 每个人与其他 n − 1 个人握手。这样得到 n × (n − 1) 个握手的”手端”，但每次握手有两个手端，被数了两次。所以 H = n(n − 1)/2。
第 4 步，核对表格： n = 4 时，4 × 3 / 2 = 6。n = 6 时，6 × 5 / 2 = 15。两者都吻合。
第 5 步，猜想： 对每个整数 n ≥ 1，握手的次数是 n(n − 1)/2。
第 6 步，新情形： n = 7 时，公式给出 7 × 6 / 2 = 21。用差的规律，15 + 6 = 21。直接数也可以：6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21。三条途径一致，所以这个猜想通过了真正的检验。
要留意的错误
常见的失误，是只用前两三个情形就建立规则。
错误的猜想： 由 n = 1 和 n = 2（0 和 1）得出”H = n − 1”。
n = 3 时这条规则给出 2，但实际是 3。
纠正的方法，是先收集更多情形再写规则，并用没有参与建立规则的情形来检验。这里的差 1、2、3 表明增长越来越快，所以只含 n − 1 的规则不可能正确。
自我检测
1. 前 n 个奇数之和，n = 1 到 5 时依次是 1、4、9、16、25。写出一个猜想，并用它预测 n = 8。
查看答案
这些值是平方数，所以猜想是：前 n 个奇数之和等于 n²。
n = 8 时预测为 64。核对：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64。
2. 一个规律在 n = 1 到 4 时的值为 5、8、11、14。提出一条规则，并求 n = 20 时的值。
查看答案
差恒为 3，所以规则以 3n 开头。n = 1 时需要 5，所以加 2：规则是 3n + 2。
n = 20 时：3 × 20 + 2 = 62。
3. 一张表在 n = 1 到 4 时给出 2、6、12、20。提出一条规则，并预测 n = 5。
查看答案
差是 4、6、8，每次增加 2，所以规则是二次的。各值等于 n × (n + 1)：1 × 2、2 × 3、3 × 4、4 × 5。
规则是 n(n + 1)，所以 n = 5 时为 30。用差核对：下一个差是 10，20 + 10 = 30。
接下来学什么
下一步学习用反例检验猜想，因为只遇到过吻合情形的猜想，还没有经受过挑战。探究题练习会把所有步骤混在一起练。
如果你常常看得出规律，却说不清楚成一句清晰的话，老师可以在线上一对一数学补习中一步步训练这种表达。免计算器步骤训练器可以帮你核对每个预测值。