要用代数解释规则，就是用字母表示陈述中的对象，化简，然后说明无论字母取何值，结果都具有所声称的性质。这样的论证涵盖每一个情形，而不仅是你核对过的那些。
这一课在你用反例检验过猜想之后、说明结论适用范围之前。它属于International Mathematics 探究题，并用到代数结构中的技能。
写代数之前需要什么？
你需要一种把对象写成一般形式的方法。下表列出一些常用写法。
| 对象 | 代数形式 |
|---|---|
| 任意整数 | n |
| 连续整数 | n, n + 1, n + 2 |
| 偶数 | 2n |
| 奇数 | 2n + 1 或 2n − 1 |
| 连续偶数 | 2n, 2n + 2 |
| 连续奇数 | 2n − 1, 2n + 1 |
| 5 的倍数 | 5n |
一步一步解释规则
- 用文字写出你要解释的陈述。
- 选定对象的代数形式， 并说明 n 是什么。
- 写出陈述中那个量的表达式。
- 化简， 展开或合并同类项。
- 因式分解或重新整理， 直到想要的性质清楚可见。
- 写一句总结， 说明它证明了什么、适用于哪些值。
例题
陈述：任意两个连续奇数之和是 4 的倍数。先核对几个例子：7 + 9 = 16，13 + 15 = 28。两者都是 4 的倍数，所以这个陈述值得证明。
第 1 步，形式： 设 n 为正整数。奇数 2n − 1 和 2n + 1 相差 2，所以它们是连续奇数。
第 2 步，表达式： 它们的和是 (2n − 1) + (2n + 1)。
第 3 步，化简： 2n − 1 + 2n + 1 = 4n。
第 4 步，结论： 4n 是 4 乘以一个整数，所以对每个 n 它都是 4 的倍数。因此任意两个连续奇数之和是 4 的倍数。
与例子对应： 对 7 + 9，2n − 1 = 7，所以 n = 4，4n = 16。对 13 + 15，n = 7，4n = 28。两者都与核对结果一致。
要留意的错误
常见的失误，是把连续奇数写成 n 和 n + 1。
错误的设定： n + (n + 1) = 2n + 1。
但 n 和 n + 1 是连续整数，其中一个是偶数。和 2n + 1 是奇数，不是 4 的倍数。
纠正的方法，是用一个具体的数检查你的代数形式。若 n = 7，n 和 n + 1 给出 7 和 8，它们并非都是奇数。而 2n − 1 和 2n + 1 在 n = 7 时给出 13 和 15，都是奇数且相差二。
花五秒钟检查设定，就能保住整个论证。
自我检测
1. 证明任意三个连续整数之和是 3 的倍数。
查看答案
设这三个数为 n、n + 1、n + 2。它们的和是 n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1)。
这是 3 乘以一个整数，所以对每个 n 都是 3 的倍数。核对： 10 + 11 + 12 = 33 = 3 × 11。
2. 证明两个连续偶数之和永远不是 4 的倍数。
查看答案
设这两个数为 2n 和 2n + 2。它们的和是 4n + 2。
4n 是 4 的倍数，所以 4n + 2 比 4 的倍数多 2，永远不是 4 的倍数。核对： 6 + 8 = 14 = 4 × 3 + 2。
3. 用火柴棒摆成一排 n 个正方形。第一个正方形需要 4 根，每多一个正方形需要 3 根。证明总数是 3n + 1。
查看答案
多出来的正方形有 n − 1 个，所以总数是 4 + 3(n − 1)。展开：4 + 3n − 3 = 3n + 1。
核对： n = 4 时 3 × 4 + 1 = 13，与表格 4、7、10、13 吻合。
接下来学什么
规则解释清楚之后，最后一步是说明它适用到哪里：说明以规律为基础的结论的适用范围。之后探究题练习会把每个阶段混在一起。免计算器步骤训练器可以用来拿几个数测试你的代数结果。
不少学生一旦看出设定，代数就能做出来。老师可以在线上一对一数学补习中帮你练习如何选择这个设定。