要系统地列举情形，就要每次只改变一样东西，按顺序排列，并把每个结果记在表格里。单独看一个情形几乎看不出规律，但当情形 1、2、3、4、5 并排放在一列时，规律往往就变得明显。
这是International Mathematics 探究题中每一道题的第一步。它也支持数列与规律，那里同样会用到这样的表格。
为什么情形的顺序很重要？
如果你从情形 1 直接跳到情形 5，就错过了图形如何增长的证据。你也无法判断，图形的哪一个变化造成了数量的哪一个变化。
系统的列举使用连续的变量值，例如 n = 1、2、3、4、5，其他条件保持不变。这样各行之间的差就很容易读出。
一步一步列举情形
- 定义变量。 写明 n 代表什么，例如”一行中正方形的个数”。
- 从最小的合理情形开始。 通常是 n = 1，有时是 n = 0 或 n = 2。
- 按顺序画出或列出后面的情形。 不要跳过任何值。
- 把每个结果记在两列的表格中。 n 写在左边，数量写在右边。
- 观察结构和差。 问自己每个情形是怎样由前一个情形构成的。
- 先预测下一个情形， 再把它做出来核对预测。
例题
用火柴棒摆成一排正方形。一个正方形需要 4 根火柴棒。n 个正方形排成一行需要多少根火柴棒？
第 1 步，变量： n 是这一行中正方形的个数。
第 2 步，情形： 画出 n = 1、2、3、4，小心地数火柴棒，记住相邻的正方形共用一条边。
第 3 步，表格：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 火柴棒数 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 |
第 4 步，结构： 第一个正方形需要 4 根。每多一个正方形再加 3 根，因为它和前一个正方形共用一条边。
第 5 步，预测： n = 10 时，数量为 4 + 9 × 3 = 31。用第二种方法核对：10 个正方形有 11 根竖的和 20 根横的，11 + 20 = 31。两种方法结果一致。
如果规律涉及重复的百分比变化，可以用百分比基数探索器帮你生成各个情形。例如，100 连续增加两次 10%，先得 110，再得 121。
要留意的错误
常见的失误，是把每个正方形都当成有自己独立的四根火柴棒。
错误的做法： 3 个正方形需要 3 × 4 = 12 根火柴棒。
这忽略了正方形共用边，所以数多了。
纠正的方法是把这个情形画出来，每根火柴棒只数一次。n = 3 时，图中是 10 根，不是 12 根。
表格就变成 4、7、10，“每次加 3”的规律随之出现。务必用一个画出来的情形检查你的结构。
自我检测
1. 用火柴棒摆成一条三角形带。一个三角形用 3 根，两个三角形连成带用 5 根。请补全 n = 3、4、5 个三角形时的表格。
查看答案
每多一个三角形，共用一条边，所以加 2 根。数量依次为 3、5、7、9、11。
n = 3、4、5 时的答案是 7、9 和 11。
2. 五位朋友，每两人之间各发一条信息。系统地列出这些两人组合并数一数。
查看答案
把朋友记为 A 到 E。A 与其他 4 人两两组合，B 新增 3 对，C 新增 2 对，D 新增 1 对。
总数 4 + 3 + 2 + 1 = 10 对。
3. 一名学生只试了 n = 1、2 和 6。请说出一个原因，说明这样开头并不好。
查看答案
跳过 3、4、5，就看不出数量如何从一个情形增长到下一个，规律及其变化更难发现。一连串完整的连续值才是更好的证据。
接下来学什么
有了整齐的表格，你就可以从观察到的情形提出猜想。之后再做探究题练习。免计算器步骤训练器适合用来核对较大情形中的算术。
有些学生能列出表格，却不确定应该数哪个量。这很适合在线上一对一数学补习中和老师一起理清。