理解速率-时间图下的面积

在速率-时间图上，图线与时间轴之间的面积就是走过的距离。速率 × 时间 = 距离，而面积正是高乘以宽。

这项技能延续用斜率求加速度，并完成运动与图像中读图所需的工具箱。

为什么面积等于距离？

设一个物体以 5 m/s 匀速运动 10 s，它走了 5 × 10 = 50 m。在图上，这是宽 10 个单位、高 5 个单位的长方形，面积为 50。得出距离的乘法，和得出面积的乘法是同一个。

当图线倾斜时，速率在变化，但同样的想法依然成立。你把形状分成几个可以求面积的部分。

怎样一步一步求距离？

1. 把图线下的区域分成长方形、三角形和梯形。
2. 从坐标轴读出每个形状的尺寸：宽用秒，高用 m/s。
3. 求每块面积：长方形 = 底 × 高，三角形 = ½ × 底 × 高，梯形 = ½ × (a + b) × 宽。
4. 把面积加起来。 总和就是以米为单位的距离。
5. 写上单位：米，因为 m/s × s = m。

完整例题

使用上一课那辆虚构踏板车的图。速率在 6 s 内从 0 升到 12 m/s，保持 12 m/s 到 14 s，然后在 18 s 降到 0 m/s。

0 到 6 s（三角形）： 面积 = ½ × 6 × 12 = 36 m。

6 到 14 s（长方形）： 宽 = 14 − 6 = 8 s，面积 = 8 × 12 = 96 m。

14 到 18 s（三角形）： 宽 = 4 s，面积 = ½ × 4 × 12 = 24 m。

总距离 = 36 + 96 + 24 = 156 m。

平均速率（整个 18 s）= 156 ÷ 18 = 8.67 m/s（3 位有效数字）。

合理性检查：平均值低于最大速率 12 m/s，这是应该的，因为行程中有一部分比较慢。

要留意的错误

一位学生想从同一张图求距离，把最大速率乘以总时间。

错误答案： 12 × 18 = 216 m。

这是把整段行程当成以最大速率运动的长方形，但踏板车并不是一直以 12 m/s 行驶。

还有一个相关的失误：用三角形时漏掉 ½，结果那一块的面积翻了一倍。

改正： 像上面那样分成三个形状，每个用对应的公式，再相加。总和是 156 m，远低于 216 m。

自我检测

先自己做，再打开每道题的答案。

1. 一个物体的速率在 5 s 内均匀地从 0 升到 8 m/s，然后以 8 m/s 保持 10 s。求总距离。

2. 速率在 6 s 内均匀地从 4 m/s 升到 10 m/s。用梯形求距离，并用平均速率检查。

3. 在一张弯曲的速率-时间图上，一个小方格宽 2 s、高 1 m/s。曲线下的区域约占 37 个小方格。估算距离。

接下来学什么？

本模块的最后一课加入方向：区分位移与总路程。图像模型与残差探索器和速率与能量图像解读器可以让你检查自己是否选对了斜率或面积。

觉得图像题做得慢的学生，常能从一对一线上物理补习中受益，老师可以示范怎样选出最快的形状分割方式。