检查给定的点是否满足每个约束条件

要检查一个点，把它的坐标代入每一个不等式，确认每一个都成立。只要有一个不成立，就可以否定这个点；必须全部成立，才能接受它。

这是不等式与可行区域单元的最后一项技能。它无论有没有图都能用，也是你在画边界线时选择阴影一侧所用的同一个测试。

怎样测试一个点？

1. 把约束条件列成清单，避免遗漏。
2. 把 x 和 y 代入每一条。
3. 写出得到的式子，标明成立或不成立。
4. 留意严格符号：等于界限的值不满足 < 或 >。
5. 写出结论：全部成立表示该点可行，任何一个不成立表示不可行。

例题详解

约束条件：y ≥ 1、x + y ≤ 7 和 y < 2x。测试点 A (3, 4)、B (2, 4) 和 C (5, 3)。

点 A (3, 4)：

• y ≥ 1：4 ≥ 1，成立。
• x + y ≤ 7：7 ≤ 7，成立（允许相等）。
• y < 2x：4 < 6，成立。 全部成立，所以 A 可行。

点 B (2, 4)：

• y ≥ 1：4 ≥ 1，成立。
• x + y ≤ 7：6 ≤ 7，成立。
• y < 2x：4 < 4，不成立，因为 4 不小于 4。 有一个不成立，所以 B 不可行。它位于虚线边界 y = 2x 上。

点 C (5, 3)：

• y ≥ 1：成立。
• x + y ≤ 7：8 ≤ 7，不成立。 所以 C 不可行。遇到第一个不成立的式子就可以停下，但把清单做完是好习惯。

要留意的错误

错误解法： “B 是 (2, 4)。4 ≥ 1 成立，2 + 4 = 6 ≤ 7 成立，所以 B 可行。”

学生做了两个测试就停下，跳过了第三个。

第三个条件没有通过。改正的方法是保留所有约束条件的清单，逐条打勾。只有做完清单的最后一行，才能接受这个点。

文字题版本

一所学校售卖 x 个普通杯和 y 个印花杯。总共至多卖 20 个杯，至少 5 个是普通杯，印花杯的数量至少是普通杯的两倍。约束条件是 x + y ≤ 20、x ≥ 5 和 y ≥ 2x。

(5, 10) 可以吗？15 ≤ 20 成立，5 ≥ 5 成立，10 ≥ 10 成立。可以。

(6, 10) 可以吗？16 ≤ 20 和 6 ≥ 5 成立，但 10 ≥ 12 不成立。不可以。

自我检测

1. 约束条件：x + y ≤ 10、x ≥ 2、y > 3。P (4, 4) 可行吗？Q (6, 3) 呢？R (7, 4) 呢？

2. (3, 4) 在 x + y ≤ 7 的边界上吗？它满足这个不等式吗？

3. 一次旅行有 x 位成人和 y 位学生。总人数至多 30，至少 2 位成人，且 y ≤ 8x。(3, 24) 可以吗？(2, 17) 呢？

下一步

用不等式练习题组把整个单元练一遍。接下来是数列与规律公式。无计算器运算训练能支持代入时的算术。

如果你希望有老师来读你写下的检查过程，数学线上一对一补习会让一位经验丰富的老师坐在你的解题过程旁边。