这些题使用不等式与可行区域单元里的技能：反转符号、数轴区间、边界线、可行区域和检验点。题目都是原创的，由易到难排列。
打开每个答案之前，先在纸上写出完整过程。标出你的解法与我们的第一处不同的那一行，因为学习就发生在那里。
第 1 至 5 题：解不等式
第 1 题。 解 2x + 3 < 11。
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减 3：2x < 8。除以 2（正数，不反转）：x < 4。
检查：x = 3 得 9 < 11，成立。x = 4 得 11 < 11，不成立。
x < 4
第 2 题。 Dina 解 −2x > 6，写成 x > −3。找出错误并给出正确答案。
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她除以了 −2，却没有反转符号。正确的一步得到 x < −3。
检查：x = −4 得 −2(−4) = 8，8 > 6 成立。x = −3 得 6，6 > 6 不成立。她的答案 x > −3 会接受 x = 0，而 0 > 6 不成立。
x < −3
第 3 题。 解 4 − 5x ≥ 19。
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减 4：−5x ≥ 15。除以 −5 并反转符号：x ≤ −3。
检查：x = −3 得 4 + 15 = 19，19 ≥ 19 成立。x = 0 得 4，4 ≥ 19 不成立。
x ≤ −3
第 4 题。 解 −x/3 ≤ 2。
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两边乘以 −3 并反转符号：x ≥ −6。
检查：x = −6 得 6/3 = 2，2 ≤ 2 成立。x = 0 得 0 ≤ 2，成立。x = −9 得 3 ≤ 2，不成立。
x ≥ −6
第 5 题。 解 3(x − 2) > 5x + 4。
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展开：3x − 6 > 5x + 4。减 5x：−2x − 6 > 4。加 6：−2x > 10。除以 −2 并反转符号：x < −5。
检查：x = −6 时，左边 3(−8) = −24，右边 −30 + 4 = −26。−24 > −26 成立。x = −5 时两边都是 −21，−21 > −21 不成立。
x < −5
第 6 至 8 题：数轴与整数
第 6 题。 解 7 − 2x ≥ −3，并列出满足条件的正整数。
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减 7：−2x ≥ −10。除以 −2 并反转符号：x ≤ 5。
不超过 5 的正整数是 1、2、3、4 和 5。
检查：x = 5 得 7 − 10 = −3，−3 ≥ −3 成立。x = 6 得 −5，−5 ≥ −3 不成立。
x ≤ 5；整数 1、2、3、4、5
第 7 题。 列出满足 −2 ≤ x < 3 的整数，并说明两端各用哪种圆圈。
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因为 ≤，−2 包括，所以在 −2 处画实心圆。因为 <，3 不包括，所以在 3 处画空心圆。
整数是 −2、−1、0、1 和 2，共 5 个。
−2、−1、0、1、2
第 8 题。 解 1 < 3x − 2 ≤ 10，并列出整数解。
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每一部分都加 2：3 < 3x ≤ 12。每一部分都除以 3（正数，不反转）：1 < x ≤ 4。
整数：2、3 和 4。
检查：x = 4 得 12 − 2 = 10，符合 ≤ 10。x = 1 得 1，1 < 1 不成立。
1 < x ≤ 4；整数 2、3、4
第 9 至 12 题：边界线、区域与检验
第 9 题。 对 y < 3x − 6，说明线型、边界的截距，以及应涂阴影的一侧。
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符号是 <，所以画虚线。
边界 y = 3x − 6。x = 0 时 y = −6。y = 0 时 3x = 6，x = 2。截距是 (0, −6) 和 (2, 0)。
测试 (0, 0)：0 < −6 不成立，所以原点一侧不是所需区域。在直线下方涂阴影。
检查：(0, −7) 得 −7 < −6，成立，而且它在直线下方。
第 10 题。 求区域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 5 和 y ≤ 3 的顶点，再数出区域内及边界上的整数点。
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顶点：(0, 0)；(5, 0)，即 y = 0 与 x + y = 5 相交；(2, 3)，即 y = 3 与 x + y = 5 相交，因为 x = 5 − 3 = 2；还有 (0, 3)。
按行数整数点：y = 0 时 x 从 0 到 5，共 6 个。y = 1 时 x 从 0 到 4，共 5 个。y = 2 时 x 从 0 到 3，共 4 个。y = 3 时 x 从 0 到 2，共 3 个。
总数：6 + 5 + 4 + 3 = 18。
顶点 (0, 0)、(5, 0)、(2, 3)、(0, 3)；18 个整数点
第 11 题。 约束条件：x ≥ 1、y > 0 和 2x + y ≤ 12。A (3, 5)、B (5, 2)、C (5, 3)、D (1, 0) 中哪些可行？
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A：3 ≥ 1、5 > 0 和 6 + 5 = 11 ≤ 12，全部成立，可行。
B：5 ≥ 1、2 > 0 和 10 + 2 = 12 ≤ 12，全部成立，可行。
C：10 + 3 = 13，13 ≤ 12 不成立。不可行。
D：y > 0 变成 0 > 0，不成立。不可行。
第 12 题。 一位糕点师做 x 个小蛋糕和 y 个大蛋糕。总共至多 12 个，小蛋糕至少 3 个，大蛋糕不超过小蛋糕的两倍。写出约束条件，再测试 (4, 7) 和 (3, 7)。
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约束条件：x + y ≤ 12、x ≥ 3 和 y ≤ 2x。
(4, 7)：11 ≤ 12、4 ≥ 3 和 7 ≤ 8 全部成立。可以。
(3, 7)：10 ≤ 12 和 3 ≥ 3 成立，但 7 ≤ 6 不成立。不可以。
如果你答错了
| 哪里出了问题 | 去看 |
|---|---|
| 除以负数后方向错了（第 2 至 5 题） | 乘以负数时反转不等号 |
| 圆圈或整数列表错了（第 6 至 8 题） | 在数轴上表示区间 |
| 线型、截距或阴影一侧错了（第 9 题） | 画线性不等式的边界线 |
| 顶点或整数点个数错了（第 10 题） | 由组合约束条件找出可行区域 |
| 接受了违反约束条件的点（第 11、12 题） | 检查给定的点是否满足每个约束条件 |
算术失误可以用无计算器运算训练练习，并把每个错误记在错题记录里，以便之后再做一道新题。回到单元总览。
如果同一类失误反复出现，数学线上一对一补习会让一位老师读你的解题过程，找出背后的习惯。