可行区域是每一个约束条件同时成立的地方。先逐个处理每个不等式，再只保留重叠的部分。
这一课建立在画线性不等式的边界线之上。之后，检查给定的点会利用这个区域来判断某个点是否可以接受。
怎样找出区域？
- 画出每条边界线，实线或虚线。
- 为每个不等式测试一个点，标出所需的一侧。
- 只保留所有所需一侧都重叠的部分。
- 读图或联立边界方程，找出顶点。
- 取区域内一个点，代入每个不等式检查。
有些题目要求涂出所需区域，有些要求涂掉不要的区域，让可行区域保持空白。开始前先看清指示。
例题详解
找出 x ≥ 1、y ≥ 2 和 x + y ≤ 6 的可行区域。
第一步，边界： x = 1 是竖直的实线。y = 2 是水平的实线。x + y = 6 是经过 (6, 0) 和 (0, 6) 的实线。
第二步，各自的一侧： x ≥ 1 要 x = 1 的右边。y ≥ 2 要 y = 2 的上方。x + y ≤ 6 要含原点的一侧，因为 0 ≤ 6 成立。
第三步，重叠部分： 在 x = 1 右边、y = 2 上方且在 x + y = 6 下方的点，形成一个三角形。
第四步，顶点：
- x = 1 与 y = 2 相交于 (1, 2)。
- x = 1 与 x + y = 6：y = 5，所以是 (1, 5)。
- y = 2 与 x + y = 6：x = 4，所以是 (4, 2)。
第五步，整数点： x = 1 时，y 可取 2、3、4、5，共 4 个点。x = 2 时，y 取 2、3、4，共 3 个点。x = 3 时，y 取 2、3，共 2 个点。x = 4 时，y 取 2，共 1 个点。总数是 4 + 3 + 2 + 1 = 10 个整数点，在边界上的也算，因为线是实线。
检查： (2, 3) 得 2 ≥ 1、3 ≥ 2 和 5 ≤ 6，全部成立。
要留意的错误
错误解法： 对每个不等式涂出所需一侧，然后把整个阴影区域都保留，包括只被一两个不等式涂到的部分。
学生把约束条件当成”或”，而不是”且”。
可行区域必须满足所有约束条件，所以只能是重叠部分。像 (5, 5) 这样的点可能满足 x ≥ 1 和 y ≥ 2，但 x + y = 10 不 ≤ 6，所以 (5, 5) 不可行。
改正的方法是：凡是你认为在区域内的点，都要代入每一个不等式检查，而不只是第一个。
自我检测
1. 对上面的 x ≥ 1、y ≥ 2 和 x + y ≤ 6，(4, 3) 在可行区域内吗？
查看答案
4 ≥ 1 成立，3 ≥ 2 成立，但 4 + 3 = 7，7 ≤ 6 不成立。
不在，因为它违反了一个约束条件。
2. 求区域 x ≥ 0、y ≥ 0 和 x + 2y ≤ 8 的顶点。
查看答案
x = 0 与 y = 0 相交于 (0, 0)。令 y = 0：x = 8，得 (8, 0)。令 x = 0：2y = 8，y = 4，得 (0, 4)。
(0, 0)、(8, 0) 和 (0, 4)
3. 满足 x ≥ 1、y ≥ 1 和 x + y ≤ 4 的整数点有几个？
查看答案
x = 1：y = 1、2、3，共 3 个点。x = 2：y = 1、2，共 2 个点。x = 3：y = 1，共 1 个点。
总数：3 + 2 + 1 = 6 个点。
下一步
接着学习检查给定的点是否满足每个约束条件，用同样的测试，但不必作图。无计算器运算训练能帮你算顶点。之前的联立关系单元说明了怎样求两条直线的交点。
当几个约束条件重叠时，数学线上一对一补习的老师可以看你怎样安排整张图，并建议一个让图保持清晰的顺序。