含 x 和 y 的线性不等式把图分成两侧，而边界线（boundary）就是两侧之间的那条线。先画出等号版本的直线，按符号选实线或虚线，再用一个测试点选择阴影的一侧。
这一课承接在数轴上表示区间，空心圆与实心圆在一维中做的事，这里在二维中继续。它通向找出可行区域，那里会把几条边界合起来。
怎样画边界线？
- 把不等号换成 =，得到边界方程。
- 在这条线上找两三个点。截距最快：令 x = 0 得 y 截距，令 y = 0 得 x 截距。
- 画线。≤ 或 ≥ 用实线，< 或 > 用虚线。
- 用一个测试点决定阴影的一侧。
界限与取整讲解工具在测量情境中展示了同样的”包含与不包含端点”的概念。
例题一：y > 2x − 3
第一步，边界： y = 2x − 3。取点：x = 0 得 y = −3，x = 2 得 y = 1。所以直线经过 (0, −3) 和 (2, 1)。
第二步，线型： 符号是 >，属于严格不等式，所以画虚线。
第三步，测试 (0, 0)： 0 > 2(0) − 3 吗？即 0 > −3，成立。所以含原点的一侧是解的一侧，也就是直线上方的区域。
第四步，再检查一次： 试 (3, 0)。0 > 6 − 3 = 3 吗？不成立。(3, 0) 在直线下方，不涂阴影。两次检查结果一致。
例题二：2x + 3y ≤ 12
第一步，边界： 2x + 3y = 12。x = 0 时 3y = 12，y = 4。y = 0 时 2x = 12，x = 6。直线连接 (0, 4) 和 (6, 0)。
第二步，线型： 符号是 ≤，所以画实线。
第三步，测试 (0, 0)： 0 ≤ 12 成立，所以涂含原点的一侧，也就是直线的左下方。
要留意的错误
错误解法： 2x − y < 4 的符号是”<“，所以在直线下方涂阴影。
学生没有测试点，直接用了”小于就是下方”。
这个规则只有在不等式写成 y < 某式 时才适用。这里 y 的系数是负的。
测试 (0, 0)：2(0) − 0 = 0，0 < 4 成立，所以原点那一侧是解。边界 2x − y = 4 经过 (2, 0) 和 (0, −4)，而原点在这条线的上方。
所以正确的区域在直线上方，与学生的答案相反。
如果改写成 y > 2x − 4，符号会掉头，因为你除以了 −1，这就连回反转不等号那一课。测试点可以避开这些麻烦。
自我检测
1. x + y < 5 的边界是实线还是虚线？
查看答案
符号是 <，所以线上的点不满足它。边界是虚线。
2. 求边界 3x + 2y = 12 的截距。
查看答案
令 x = 0：2y = 12，y = 6。令 y = 0：3x = 12，x = 4。
(4, 0) 和 (0, 6)
3. 描述区域 y ≥ x − 1。
查看答案
边界 y = x − 1 经过 (0, −1) 和 (1, 0)。符号是 ≥，所以是实线。测试 (0, 0)：0 ≥ −1 成立，所以涂含原点的一侧。
实线，在直线上方涂阴影
下一步
掌握一条边界后，继续学习由组合约束条件找出可行区域。无计算器运算训练能帮你练习截距的算术。
如果测试点做起来很慢，数学线上一对一补习的老师可以用新的不等式陪你反复练习，直到变得快速。