在等比数列中，每一项都是前一项乘以同一个数 r。要求出 r，就是用后面的项除以前面的项，再开与间隔对应的方根。有一种情形要特别小心：间隔为偶数时，正负号有两种可能。
这一课建立在由两个条件求项之上，并通向无穷项之和，在那里 r 的大小决定一切。
怎样由两项求 r？
第 n 项是 arn−1。因此任意两项相除，a 就会消去：
（第 q 项）÷（第 p 项）= rq−p
指数就是两个位置的间隔。开对应的方根：间隔为三开立方根，间隔为二开平方根。
如果给的是三个连续项呢？
若三个连续项是 p、q、s，则 q ÷ p = s ÷ q，所以 q² = ps。当各项含未知数 x 时，这会得到关于 x 的方程。解出后代回求各项，再读出 r。
例题详解
一个等比数列的第 3 项是 12，第 6 项是 96。求 r、首项和第 8 项。
第一步，列方程： ar2 = 12 和 ar5 = 96。
第二步，相除： ar5 ÷ ar2 = 96 ÷ 12，所以 r3 = 8，r = 2。
第三步，求 a： a × 22 = 12，所以 4a = 12，a = 3。
第四步，检查： 第 3 项 = 3 × 4 = 12，第 6 项 = 3 × 32 = 96，两者都吻合。
第五步，作答： 第 8 项是 3 × 27 = 3 × 128 = 384。
所以 r = 2，a = 3，第 8 项是 384。
要留意的错误
立方根只有一个实数答案，平方根却有两个。失误就是间隔为偶数时只写正的那个根。
错误做法： 第 2 项是 12，第 4 项是 48。于是 r2 = 4，所以 r = 2，a = 6。
r = −2 也满足 r2 = 4，却被漏掉了。
改正的方法是写出 r = ±2，并两个都验证。
若 r = 2，则 a = 6，各项是 6, 12, 24, 48。若 r = −2，则 a = −6，各项是 −6, 12, −24, 48。两者的第 2 项都是 12，第 4 项都是 48，所以两个都成立，除非题目另加条件，例如”所有项为正”。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 4。求 r 和首项。
查看答案
r = 4 ÷ 10 = 2/5。再得 a = 10 ÷ (2/5) = 10 × 5/2 = 25。
检查：25, 10, 4 成立，因为 25 × 2/5 = 10，10 × 2/5 = 4。所以 r = 2/5，a = 25。
2. x + 1、x + 4、x + 10 是等比数列的连续项。求 x 和公比。
查看答案
(x + 4)² = (x + 1)(x + 10)，所以 x² + 8x + 16 = x² + 11x + 10。得 6 = 3x，所以 x = 2。
各项是 3, 6, 12，所以 r = 2。检查：6 ÷ 3 = 2，12 ÷ 6 = 2。
3. 一个各项为正的等比数列，第 3 项是 18，第 5 项是 8。求 r 和首项。
查看答案
r² = 8 ÷ 18 = 4/9，所以 r = ±2/3。各项为正要求公比为正，因此 r = 2/3。
再由 a × 4/9 = 18 得 a = 18 × 9/4 = 81/2 = 40.5。检查：40.5, 27, 18, 12, 8，每一步都乘以 2/3。
下一步
求出 r 之后，就能判断等比级数是否有有限的总和，见只在条件成立时使用无穷项之和。数列与级数实验室让你改变 r，观察各项的变化，包括正负号交替的情形。
有些学生同一道题会做，换个说法就犹豫，往往受益于看别人把思路说出来。我们的老师在附加数学线上一对一补习中就是这样做的。