等比级数只有在 |r| < 1 时才有无穷项之和（sum to infinity），此时和为 S∞ = a/(1 − r)。顺序很重要：先检验条件，再使用公式。
为什么公比决定一切？
每一项是前一项的 r 倍。如果 r 在 −1 与 1 之间，每一项的大小都比前一项小，新加上的数变得很小，累计总和就会稳定下来。
如果 r 等于 1，每一项都相同，总和会无限增长。如果 |r| 大于 1，各项本身越来越大。这两种情况下，都没有有限的无穷项之和。
等比数列前 n 项之和是 Sn = a(1 − rn)/(1 − r)，也写作 a(rn − 1)/(r − 1)。当 |r| < 1，rn 趋向零，Sn 就趋向 a/(1 − r)。
使用的步骤是什么？
- 求 r：用一项除以它前一项。
- 检验条件：是否 |r| < 1？若不是，就写明无穷项之和不存在。
- 代入 a/(1 − r)，当 r 为负数或分数时留意括号。
- 检查合理性：答案应该像是前几项的一个合理总和。
例题详解
求 18 + 12 + 8 + … 的无穷项之和。
第一步，公比： r = 12 ÷ 18 = 2/3。再验证下一对：8 ÷ 12 = 2/3。
第二步，条件： |2/3| < 1，所以无穷项之和存在。
第三步，公式： S∞ = 18 ÷ (1 − 2/3) = 18 ÷ (1/3) = 18 × 3 = 54。
第四步，合理性： 前五项是 18, 12, 8, 5.33, 3.56，和约为 46.9。其余各项还在缩小，所以极限 54 是合理的。
再看一个公比为负的例子：对 8 − 4 + 2 − 1 + …，r = −1/2，S∞ = 8 ÷ (1 + 1/2) = 8 ÷ 3/2 = 16/3。注意括号：1 − (−1/2) = 3/2，不是 1/2。
要留意的错误
失误就是没检验 r 就直接用公式。
错误做法： 对 2 + 6 + 18 + …，r = 3，所以 S∞ = 2 ÷ (1 − 3) = 2 ÷ (−2) = −1。
各项为正的级数不可能加出负数。因为没有检查条件，公式给出了荒谬的结果。
改正的方法是在第二步就停下来。这里 |r| = 3，大于 1，所以这个级数没有无穷项之和。只要无穷项之和看起来奇怪，例如正项级数得到负数，第一件事就是检查 |r|。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 求 40 + 10 + 2.5 + … 的无穷项之和。
查看答案
r = 10 ÷ 40 = 1/4，且 |1/4| < 1。S∞ = 40 ÷ (1 − 1/4) = 40 ÷ 3/4 = 160/3，即 53 1/3（约 53.3）。
检查：前四项之和是 40 + 10 + 2.5 + 0.625 = 53.125，已经很接近。
2. 一个等比级数的首项是 12，无穷项之和是 16。求 r。
查看答案
12 ÷ (1 − r) = 16，所以 1 − r = 12/16 = 3/4。因此 r = 1/4，满足 |r| < 1。
检查：12 ÷ (3/4) = 16。
3. 一个等比级数的首项是 7，公比是 2x − 1。求使该级数有无穷项之和的 x 的范围。
查看答案
需要 |2x − 1| < 1，所以 −1 < 2x − 1 < 1。各部分加 1 得 0 < 2x < 2，因此 0 < x < 1。
检查：x = 0.5 时 r = 0；x = 1 时 r = 1，不允许，所以端点不包括在内。
下一步
当这个条件变成自动反应后，可以试试把有限项与和混合起来的项与和的综合题。数列与级数实验室会在 |r| 太大、不能求无穷项之和时给出提示，这是检查你自己例子的好办法。
如果像第三题这样的题目让你在不等号上犹豫，值得在附加数学线上一对一补习中花一小段时间解决。