综合题会给出两个独立的事实，通常一个关于项、一个关于和，再问超出这两者的东西。方法是：列出两条方程，解出 a 和 d（或 r），再用结果回答最后的问题，包括关于 n 的任何不等式。
这一课用到等差与等比级数中之前所有的内容，尤其是由两个条件求项和有限等差数列的和。
如何规划一道综合题？
在写任何代数之前，先列出已知和所求。简短的计划能让你避免去解用不到的未知数。
- 给每个条件画线，标明是项还是和。
- 写出对应的方程：项用 a + (n − 1)d，等差数列的和用 n/2 (2a + (n − 1)d)。
- 化简两条方程，再用较简单的一条代入另一条。
- 解出并检查两个条件。
- 用 a 和 d 回答最后一问，例如更后面的项或 n 的最小值。
例题详解
一个等差数列的第 6 项是 19，前 10 项之和是 175。求 a 和 d，再求使前 n 项之和大于 1000 的最小 n。
第一步，项的条件： a + 5d = 19。
第二步，和的条件： 10/2 × (2a + 9d) = 175，所以 2a + 9d = 35。
第三步，求解： 由第一条得 a = 19 − 5d。代入：2(19 − 5d) + 9d = 35，所以 38 − d = 35，d = 3。再得 a = 19 − 15 = 4。
第四步，检查： 各项是 4, 7, 10, 13, 16, 19, …，第 6 项是 19。十项之和是 5 × (8 + 27) = 175。
第五步，把和写成 n 的式子： Sn = n/2 × (8 + 3(n − 1)) = n(3n + 5)/2。
第六步，不等式： n(3n + 5)/2 > 1000 得 3n² + 5n − 2000 > 0。判别式（discriminant）是 25 + 24000 = 24025 = 155²，所以根是 n = (−5 ± 155)/6，即 n = 25 和一个负数。
第七步，测试整数： S25 = 25 × 80/2 = 1000，是相等，不是大于。S26 = 26 × 83/2 = 1079。所以最小的 n 是 26。
答案是 a = 4，d = 3，n = 26。
要留意的错误
失误就是解到二次式的根就停下，没有检验不等式。
错误做法： 根是 25 和一个负数，所以答案是 n = 25。
当 n = 25 时，和刚好是 1000。题目要求的是大于 1000，所以 25 不符合。
改正的方法是把根两侧的整数代回原来的和。如果题目说的是”至少 1000”，那么 n = 25 才对。读懂题目中的不等号，本身就是答案的一部分。
自我检测
先在纸上做，再打开答案核对。
1. 一个等差数列的第 3 项是 10，前 8 项之和是 104。求 a 和 d。
查看答案
a + 2d = 10 和 8/2 × (2a + 7d) = 104，所以 2a + 7d = 26。由第一条得 a = 10 − 2d。再得 20 − 4d + 7d = 26，所以 d = 2，a = 6。
检查：各项 6, 8, 10, …，第 3 项是 10。S8 = 4 × (12 + 14) = 104。
2. 一个等比级数的首项是 4，无穷项之和是 12。求第 3 项。
查看答案
4 ÷ (1 − r) = 12，所以 1 − r = 1/3，r = 2/3。这满足 |r| < 1。
第 3 项 = 4 × (2/3)² = 4 × 4/9 = 16/9。检查：4 ÷ (1/3) = 12。
3. 一个等差数列的首项是 5，公差是 2。求使总和超过 500 所需的最少项数。
查看答案
Sn = n/2 × (10 + 2(n − 1)) = n(n + 4)。所以 n² + 4n − 500 > 0，正根约为 −2 + √504 ≈ 20.45。
测试：S20 = 20 × 24 = 480，低于 500。S21 = 21 × 25 = 525，高于 500。所以最小的 n 是 21。
下一步
用混合练习题组检测整个单元，里面包含这类题目。数列与级数实验室帮你观察总和如何随 n 变化，无计算器运算训练则支持最后几步的运算。
如果难点在于先用哪一个条件，我们的老师可以在附加数学线上一对一补习中，和你一起检视你自己的解题尝试。